Bonjour,

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Je trouve  1/4 pour les successifs et 1/7 pour les doubles .

Je dois répondre plus justement...je reviens

Bonjour dpi,.. Il y a une coquille dans l'énoncé, il s'agit de tirages avec remise

Bonjour,

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1) Proba = 1
car 2 entiers successifs sont obligatoirement de parité différente.

2)
Si n = 1 : proba = 0
Si n = 2 : proba = 3/32 (avec remise)
Si n > 2 ... il faudra que je médite plus longtemps.

Rebonjour,

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Je corrige ma réponse (j'avais raisonné sans remise et puis corrigé pour que le tirage soit avec remise ... mais là erreur)

1)
Proba = 1

2) Si n = 2 : proba = 1/8

Mais il y a 2 manières différentes d'interpréter :
(... au moins deux entiers successifs dont l'un  est le double de l'autre ?"

Je me lancerai (peut-être   ) pour n > 2 lorsque je saurais si mon 1/8 est bon ou non ... car cela précisera la manière d'interpréter l'énoncé.

Suite,

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1/je comprends deux entiers successivement tirés de parité différente--->. 13/18
2/double de l' autre    1/9

Bonsoir candide2, surement un mauvais terme employé de ma part pour la question 1 que je reformule ici :
1)Quelle est la probabilité qu'on ne  trouve jamais deux entiers qui se suivent de meme parité dans le tirage ?

Bonsoir,

Cà c'est un tout autre problème.

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Pour le 1, je répondrais alors : Proba = 1/2^(n-1)

Bonjour,
Avec un esprit matinal et une perception de l'énoncé définitif

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Tout d'abord je considère que tirer  2 et 5 par exemple c'est pareil que tirer 5 et 2 (ils ne sont pas de même parité)
1/ réponse  5/9
2/ je confirme 1/9

Bonjour,

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1) (1/2)^(n-1)

2) (7/8)^(n-1)

Nous attendons la réponse de flight.
Mais  intuitivement pour :
1/ il y a un peu plus de chances de tirer deux nombres de même parité que de parités différentes . (20<--->16 )  
2/il y a beaucoup moins de chances de trouver deux nombres dont l'un est le double de l'autre .(4 <--->32)

Toujours en considérant que  3 puis 7 c'est pareil que 7 puis ,3 par exemple.

Bonjour,

L'énoncé est et reste ambigu, si on veut lever cette ambiguïté, on pourrait par exemple, pour le problème 1, mettre modifier l'énoncé comme suit  :

1)Quelle est la probabilité qu'on ne  trouve jamais, dans deux tirages successifs, des entiers de même parité  ? ?... ...Très simple

Modif similaire pour la question 2.

Comme l'énoncé est rédigé, on trouve soit "deux entiers successifs", soit "deux entiers qui se suivent" ...

Quand, je lis cela, je comprends que le mot "successifs" ou les mots "qui se suivent" qualifient le mot "entiers" et pas les "tirages" ...

Bonjour,

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Juste en passant,

Dans le  problème 2 , la probabilité d'un "ratage" n'est pas la même entre le 1er et le 2ème nombre tiré que, après un "raté", entre le 2ème et le 3ème nombre tiré et ainsi de suite ...
Ces proba sont très proches ... mais pas égales.

pour le 2, on a Proba = ENVIRON (7/8)^(n-1)
Mais pour lever le "environ", ce n'est pas facile.

Par exemple, pour n = 3, on a  (7/8)^(n-1) =  (7/8)^2 = 0,76525
alors qu'une simulation donne pour résultat :  
1 - 116/512 = 99/128 =  0,7734375

Voici mon approche" concrète"
a/8 nombres de 1 à 8
b/tirages avec remise
c/ordre des deux tirés indifférent.

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Bonjour dpi,

L'énoncé précise qu'il y a n tirages successifs.

La réponse DOIT donc dépendre impérativement de la valeur de n

... Et tes réponses sont des constantes.
Sans juger de la valeur de ces constantes (pour tpi 5/9 et 1/9) , ce ne peut pas être correct ... puisque indépendantes de n.

Rerebonjour,

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Ma valeur affinée pour la question 2 est :

Proba

Bonjour,
J'ai tenté de rendre plus clair l'énoncé de départ.
Et je me suis prise au jeu
D'accord pour la réponse de candide2 à 1) le 12 à 8h55.
Pour 2), je regarderai plus tard.

salut

si on considère le tirage

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1/ on considère l'événement " ont même parité alors vu l'indépendance due au fait d'effectuer un tirage avec remise alors :



2/ on considère l'événement "parmi l'un est multiple de l'autre" (il y a donc deux éventualités : le premier est multiple du second ou le contraire)

or avec les entiers de 1 à 8 cela ne se réalise qu'avec les paires (1, 2), (2, 4), (4, 8) et (3, 6) parmi les 28 paires possibles

et sachant que "au moins une" est le contraire de ... et avec toujours de l'indépendance

Bonsoir,
A propos la question 2) :
Plus on fait de tirages, plus la probabilité que cette histoire de double arrive augmente.
Le résultat doit donc augmenter avec n.
Par ailleurs, le résultat me semble être 7/8 pour n = 2.

ha mais alors que suis-je bête !! (il me semble) que tu as raison donc plus simplement je dirai

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je n'avais pas vu qu'il y avait une négation de différence entre les 2 questions :

J'ai donc répondu, pour la 2 à :

Quelle est la probabilite de NE PAS trouver au moins deux entiers successifs dont l'un  est le double de l'autre ?... Moins simple...

Ma réponse à la vraie question 2 est alors :

1 - (7/8)* (99/112)^(n-2)

qui donne :
n = 2 ---> 1 - (7/8) = 1/8 = 0,125
n = 3 --> 1 - (7/8)* (99/112) = 0,2265625
n = 4 --> 1 - (7/8)* (99/112) ² = 0,316...
...
n=10 --> 1 - (7/8)* (99/112) ^8 = 0,6739..
...

Moi aussi, je me suis mélangé les pinceaux :
Pour n = 2 la réponse est bien 1 - 7/8 = 1/8.

Bonjour à tous,
Maintenant ,avec de nombreux participants ,je montre mon approche:
Je n'ai rien compris à la raison de n car je me suis intéressé à un énoncé différent :
1/Quelle est la probabilité de ne pas tirer deux nombres de même parité
avec des nombres de 1 à 8 avec remise (et ordre indifférent)?
2/Quelle est la probabilité que dans ces deux nombres l'un soit
le double de l'autre?
J'ai donc fait un tableau des possibles.

La réponse de Sylvieg pour 2 me rassure....

Bonsoir à tous , merci pour vos nombreuses participations , la question 2 est très délicate , j'avais esquissé une solution mais qui n'est finalement pas bonne , je pense que celle de candide2 se rapproche le plus de ce qu'ont cherche  

L'un de vous deux, candide2 ou flight, peut-il expliquer d'où vient 99/112 ?

Bonjour,

Pour n = 2

Il y a 64 cas de tirages (aetb) possibles, soit : (1et1, 1et2, ... 8et8)

Parmi ces cas, il y en a 8 tels que on a : soit a=2b ou bien b = 2a : (a et b) un des suivants : (1et2 ; 2et1 ; 2et4; 3et6 ; 4et2; 4et8; 6et3 ; 8et4)
(Ne pas penser que par exemple 2et4 est identique à 4et2, ce sont bien des tirages différents)
Donc la proba avec n = 2 d'avoir soit a=2b ou bien b = 2a est de 8/64 = 1/8

Donc la proba pour n = 2 de NE PAS avoir soit a=2b ou bien b = 2a est 1 - 1/8 = 7/8

Cette valeur de 7/8 a été obtenue avec, pour le 1er tirage (nombre a), toutes les valeurs possibles (de 1 à 8) en même quantité répartie sur les 64 tirages (a,b) possibles.

MAIS, si on veut passer à n = 3 (a,b,c) , seul les cas qui n'ont pas amenés a=2b ou bien b = 2a sont à prendre en considération.
Soit donc les 64-8 = 56 cas issus du tirage (a,b) tel que ...

Ici, le premier nombre du couple (b,c) a une contrainte qui n'existait pas pour n = 2.
Seules le valeurs de b et leurs quantités issues du tirage de (a,b) des 56 cas sont à utiliser dans les réflexions.

On regarde donc, dans les 56 cas ces valeurs de b telles que décrites, et ces valeurs seront combinées chacune avec c allant de 1à8.
On a alors 56*8 = 448 cas possibles et on cherche, dans ceux-ci, la proportion des cas qui n'aboutissent pas à soit b=2c ou bien c = 2b
Et il y en a 396.
Soit donc une proportion de 396/448 = 99/112

Donc la proba de ne NE PAS avoir, avec n = 3, 2 tirages consécutifs avec un nombre valant le double de l'autre est : 7/8 * 99/112

On remarque que 7/8 et 99/112 sont proches ... mais différents.

Ceci est du (déjà dit) à la contrainte sur les valeurs de b avant de tirer c, contrainte qui n'existait pas sur  las valeurs de a avant de tirer b.

Ouf (pas sûr que c'est suffisamment bien expliqué)

MAIS, ce n'est pas fini, si on veut être rigoureux, car maintenant, pour passer à n = 4, il existe une contrainte sur les valeurs de c (pour que a,b,c il n'y ait pas un 2 tirages consacutifs avec l'un valant 2 fois l'autre)

Il faudrait donc recommencer le cirque, en tenant compte des contraintes sur c, pour trouver le pourcentage des abcd qui ...

Et on trouve (je l'ai fait, mais j'ai égaré ma feuille de calcul) un proportion différente de 99/112 ... mais dont la valeur en est très proche.

Il faudrait continuer ainsi pour augmenter n pas par pas, çà je ne l'ai pas fait, mais en écrivant une simulation informatique, on peut vérifier qu'on ne fait qu'une erreur minime si on considère que toutes les proportions suivantes sont 99/112.

On trouve donc l'approximation : 7/8 * (99/112)^(n-2)

Et la proba cherchée  est donc [1 - (7/8 * (99/112)^(n-2)]

Ce qui n'est qu'une bonne approximation pour les raisons expliquées ci-dessus.

Désolé si les explications sont un peu mal exprimées...  

Non, non, pas de "désolé" !
Merci d'avoir répondu.
De plus trop de clarté nuit à la santé et au plaisir de chercher
Je regarderai un peu plus tard.
Si je continue à être dans le brouillard, je poserais des questions.

C'est assez clair, mais j'ai un doute sur l'utilisation de 568.

Je n'ai pas eu la même démarche pour n = 3.
J'ai considéré le nombre de cas possibles comme étant 8³.
J'ai cherché le nombre de triplets (a,b,c) sans double ni moitié l'un après l'autre :

J'avais déjà fait un arbre avec 56 branches pour traiter n=2.
Au bout de chacune de ces branches j'ai écrit le nombre de valeurs de c qui conviennent.
Il y a des 6, des 7 et des 8.
Jai ainsi trouvé que le nombre de triplets sans double ni moitié l'un après l'autre est
126 + 287 + 168 = 326
La probabilité de n'avoir jamais de double ni de moitié l'un après l'autre serait donc 326/8³ = 163/256.

Oups : 126 + 287 + 168 = 396
Et 396 = 499.
Mais je n'ai pas le même dénominateur

Bonsoir,
en comptant les triplets comportant au moins un double successif j'en trouve 116 avec les instructions suivantes en python :

a=0
for i in range(1,9):
    for j in range(1,9):
        for k in range(1,9):
            if i==2*j or j==2*i or j==2*k or k==2*j :
                a+=1

Bonjour,

"J'ai considéré le nombre de cas possibles comme étant 8³"

Si on veut faire ainsi, on peut, mais alors :
nombre de cas (abc) au total = 512

On doit alors retrouver, parmi ces 512 cas, combien il y en a qui n'ont aucun tirage consécutif (ab ou bc) tels que ...  
Il y en a : 396

Donc pour n = 3, le pourcentage de cas tel que ... est : 396/512 = 99/128

MAIS ... comme pour n = 2, le rapport est 7/8, il reste à trouver la valeur de A par laquelle, il faut multiplier 7/8 pour arriver à 99/128

--> 7/8 * A = 99/128

A = 99*8/(7*128) = 99/112
***************
Autrement, comme je l'ai expliqué :


On part des 56 cas de n = 2 et ... :


Les 56 cas à n = 2 sont pour (a,b): (pour lesquels on n'a pas a=2b ou b=2a)

a       b

1 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
2 2
3 2
5 2
6 2
7 2
8 2
1 3
2 3
3 3
4 3
5 3
7 3
8 3
1 4
3 4
4 4
5 4
6 4
7       4
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
6 5
7 5
8 5
1 6
2 6
4 6
5 6
6 6
7 6
8 6
1 7
2 7
3 7
4 7
5 7
6 7
7 7
8 7
1 8
2 8
3 8
5 8
6 8
7 8
8 8

Pour passer à n = 3

On associe à chacun des 56 cas (a,b) ci-dessus, des valeurs de c variant de 1 à 8 --->

Nombre de cas abc à étudier = 56 * 8 = 448

Il reste à trouver dans ces 448 cas lesquels correspondent à (abc) tels qu'il n'y ait pas de tirages successifs avec un nombre valant le double de l'autre.

Et il y en a 396

--> rapport = 396/448 = 99/112
*****

Et on retrouve bien, par les 2 méthodes le rapport de 99/112 par lequel il faut multiplier la proba pour n = 2 pour arriver à celle pour n = 3

(pour n'avoir aucun tirages successifs tels que l'un vaut le double de l'autre).

Certes mais on peut constater que pour n=4 on a 2798 cas favorables  sur 4096 et que ce n'est pas une suite géométrique.
Même si on considère les cas défavorables.
Je crois qu'il s'agit d'un problème vraiment difficile.

Oui verdurin,

C'est bien là le problème.
La suite n'est pas géométrique (je l'ai mentionné plusieurs fois (par d'autres mots)).

Si on se contente d'une solution "approchée",  la formule que j'ai donnée est acceptable jusqu'à des valeurs importante (tout est relatif) de n.

Mais cela reste une approximation comme mentionné dans plusieurs de mes messages précédents :

"Et la proba cherchée  est donc [1 - (7/8 * (99/112)^(n-2)]

Ce qui n'est qu'une bonne approximation pour les raisons expliquées ci-dessus. "

merci pour ces explications

Bonsoir à tous , j'ai trouvé la façon de faire mais ce qui pose probleme c'est de trouver une géneralité
comme on cherche la présence d'au moins un couple d'entiers qui se suivent dans la séquence de tirage et dont l'un est le double de l'autre,  pour faire simple si on tire au hasard et avec remise 3 entiers
on doit voir apparaitre dans le tirage au moins un des cas suivants :"12 , 21 , 24 , 42 , 36 , 63,  48, 84 ".  je note "A" cet evenement :
on cherche alors pour les cas favorables :  Card(A₁₂UA₂₃)  ,  A₁₂ signifie au moins un element de A se trouve entre le premier et le second tirage.
Card(A₁₂UA₂₃) = Card(A₁₂)+Card(A₂₃)-Card(A₁₂A₂₃)= (8.8 + 8.8 - 12)=116
et donc P₃ =116/8³=116/512=0,226.
le principe d'inclusion exclusion est la clé du problème ...reste à trouver une géneralité

Merci candide2 pour ton message de 19h18.
Je n'avais pas compris que tu cherchais un coefficient multiplicateur

Bonjour,

Juste pour info.

J'ai écrit un petit  programme pour trouver la suite des rapports par lesquels multiplier la proportion pour une valeur de n à la valeur de n juste supérieure.

Voila ce qui cela donne pour n = 2 à 50






On retrouve bien les valeurs de 56/64 = 7/8 (pour n = 2) et de 396/448 = 99/112 pour passer à n = 3
Et la suite est disponible ci-dessus (jusque n = 50)

Si quelqu'un (pas moi) en a le courage, il peut rechercher les fractions simplifiées et voir si "par hasard" il y a ou non une période de répétition dans la suite.

Il semble bien que cela tend vers une valeur de 0.8832968035005667...

Bonsoir,
il n'y a pas de formule générale simple.

Si désigne le nombre de suites de entiers compris entre 1 et 8 telles qu'il n'y ait pas deux entiers successifs dont l'un est le double de l'autre alors la suite vérifie la récurrence
.

On a donc où sont les racines de l'équation caractéristique .

La probabilité demandée est alors .
Le plus rapide pour la calculer est d'utiliser la relation de récurrence.

Si désigne la plus grande racine (en valeur absolue) de l'équation on a et cela confirme ce qu'a obtenu candide2 puisque

Bonsoir jandri,
Ce serait sympa de donner une indication pour trouver la relation de récurrence

Bonsoir Sylvieg,

Je note (resp ) le nombre de suites de n entiers compris entre 1 et 8 telles qu'il n'y ait pas deux entiers successifs dont l'un est le double de l'autre et qui débutent par 1 (resp 2, 3, 5), c'est aussi le nombre de celles qui débutent par 8 (resp 4, 6, 7).

En notant on a alors avec

Le polynôme caractéristique de la matrice A est égal à donc la suite vérifie la récurrence que j'ai donnée.

Merci !

Bonjour,
J'ai dit plus haut que j'avais répondu à coté (15/11 8h12)
Ici la réponse  officielle est 0.883296................
Disons 5/6  (plus facile à retenir)

Mes yeux ont fourché... 0.8833 n'est pas 0.8333
Pour simplifier on pourrait retenir 53/60  ou 63/94 mais uniquement pour mémoire...

Bonsoir dpi , les réponses pour cet exercice seront forcement fonction de n , sauf si tu cherches des valeurs particulières , de mon coté je n'ai as donné un exercice simple ( plutôt lourd en calculs, j'aurai du restreindre la liste des entiers de départ ) , les réponses de Jandri et candide2 sont bonnes , et merci à eux pour leur développement et simplification du problème ..

Bonsoir,
@flight,

Bonsoir Sylvieg ...pas du tout , si prend les entiers 1,2 et 3 et que je j'effectue n tirages avec remise de ces entiers et que je cherche le nombre de facons de ne pas obtenir deux entiers qui se suivent dont l'un est le double de l'autre .  
Si je note  An une suite de n entiers commençant par 1 et ne contenant pas deux entiers dont l'un est le double de l'autre.
Si je note  Bn une suite de n entiers commençant par 2 et ne contenant pas deux entiers dont l'un est le double de l'autre.
Si je note  Cn une suite de n entiers commençant par 3 et ne contenant pas deux entiers dont l'un est le double de l'autre l'un est le double de l'autre.

alors :
A_n+1=A_n + 0 .B_n + C_n.

B_n+1=0.A_n + B_n + C_n.

C_n+1=A_n + B_n + C_n.

avec A₁=B₁=C₁=1
et X_n=An + Bn + Cn  représentera les suites de n termes ne contenant pas deux entiers qui se suivent dont l'un est le double de l'autre.

donc par exemple , par un calcul matricielle :
A₂ , B₂, C₂ =(2,2,2)  et X₂=2+2+3=7   en terme de Proba cela donne P₂=X₂/9=7/9.
vérifiable en calculant directement P2=  (3²- 2) / 3² = 7/9.
si on veut la proba complémentaire "au moins deux entiers qui se suivent dont l'un est le double de l'autre selon l'énoncé on calculera juste  1- 7/9 = 2/9

De même en poursuivant avec le calcul matriciel on peut évaluer
X₃=(5,5,7)   et P₃ =(5+5+7)/3³=17/27  et son complémentaire 10/27

après si on cherche la proba d'obtenir au moins deux entiers qui se suivent dans les résultats précédents on prendra la probabilité complémentaire ....

Bonsoir flight,
D'accord avec tes relations de récurrence qui correspondent à l'utilisation d'une matrice 33 que j'avais utilisée.
Est-ce vraiment beaucoup plus simple qu'avec la matrice 44 de jandri pour ton problème initial ?

Je suppose qu'il s'agit de