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probabilité

Posté par Eos (invité) 24-12-05 à 16:26

Bonjour tout le monde,

Oui, je sais, travailler la veille de noël, en plus des maths, c'est pas recommander mais bon, quand il faut il faut!

Voilà, j'ai besoin de votre avis sur une question d'un exo de proba. j'ai trouvé quelque chose mais je ne suis pas du tout sûr que ce soit juste.

Enoncé:

On désigne par n et a deux entiers naturels non nuls. On étudie un marché dans lequel na consommateurs achètent chacun un bien qu'ils peuvent se procurer (de façon équiprobable) auprès de n fournisseurs F1, F2, ... , Fn

Soit la variable aléatoire Xi qui indique le nombre de consommateurs ayant acheté le bien chez le fournisseur Fi (1\lei \len)

1- déterminer la loi commune, l'espérance et la variance des variables aléatoires Xi ainsi que la valeur de E(Xi²)

En fait, c'est sur la loi de Xi que j'ai des doutes (le reste, se trouve facilement).
Xi(\omega) = [[0,na]]

\forall k \in [[0,na]] [Xi=k]= \(na\\k\)(\frac{1}{n})k(\frac{n-1}{n})na-k

Mais le problème, enfin, pour moi ça pose problème, c'est que l'on en se soucie pas des autres fournisseurs. S'il y a f consommateurs chez le premier fournisseur (f\in[[1,n]] où n\lena) alors le k des autres fournisseurs n'appartient pas à [[0,na]].

Voilà, pour moi, c'est un problème car on ne se soucie que d'un seul fournisseur, les autres, avec cette méthodes, ne sont pas pris en compte ...

Merci de m'éclairer et de me dire si ce que j'ia fait ets juste.

Bonne journée.

Eos.

Posté par Eos (invité)re : probabilité 30-12-05 à 10:58

Bonjour,

Voilà, désolé de remonter le sujet mais je crois qu'il est passé inaperçu.

Depuis la date à laquelle je l'ai posté, je n'ai pas avancé d'un centimètre et je ne suis toujours pas sûr de mon résultat.

Merci de me venir en aide.

Eos.

Posté par
franzre : probabilité 30-12-05 à 11:13

1/

X_i suit effectivement la loi binômiale 3${\mathcal B}(n a,\frac 1 n),  car              

chacun des n a clients a une probabilité \frac 1 n (car le choix est équiprobable) de se fournir chez le fournisseur F_i.

Chaque client opère un choix indépendant des autres on est en plein dans la définition de la loi loi binômiale

Posté par
stokastikre : probabilité 30-12-05 à 13:48

posté par Eos : Mais le problème, enfin, pour moi ça pose problème, c'est que l'on en se soucie pas des autres fournisseurs. S'il y a f consommateurs chez le premier fournisseur (f[[1,n]] où nna) alors le k des autres fournisseurs n'appartient pas à [[0,na]].

Je pense que le phénomène sous-jacent qui t'intrigue est que les variables aléatoires Xi, qui ont toutes la même loi, ne sont pas indépendantes (au sens fonctionnel et au sens probabiliste) ; en effet : \sum_{i=1}^nX_i=C, où C est le nombre de clients.

Mais lorsque l'on se fixe un fournisseur Fi et qu'on regarde combien de clients vont venir chez lui, on raisonne en considérant les clients un par un : le premier va-t-il venir chez Fi, le deuxième va-t-il venir chez Fi, ..., le C-ième va-t-il venir chez Fi ?

On raisonne indépendamment de ce qui s'est passé par ailleurs. Alors que ce à quoi tu as pensé qui te pose problème, c'est à la loi des Xi conditionnellement à un événement (ici l'événement {X1=f})

Posté par Eos (invité)re : probabilité 30-12-05 à 14:46

Ok, je vois ce qe tu veux dire stokastik.

Merci en tout cas à vous deux, j'y vois plus clair!!!

Une dernière question. On me demande dans la suite en élevant X1 + X2 + .... + Xn = na au carré de trouver la valeur commune des espérances E(XiXj) où i et j sont des entiers distincts compris entre 1 et n.

Quand j'éleve au carré je me retrouve avec:
\Bigsum_{i=1}^n~\Bigsum_{j=1}^n~XiXj= (na)²
<=> 2\Bigsum_{1\le i<j\le n}~XiXj + \Bigsum_{i=1}^n~Xi2

et E(XiXj) = \Bigsum_{k=0}^{na}~\Bigsum_{p=0}^{na}~kpP([Xi=k]\cap[Xj=p])- \Bigsum_{k=0}^{na}~k^2P([Xi=k]) (puisque i \neqj)
           = \Bigsum_{k=1}^{na}~\Bigsum_{p=1}^{na}~kpP([Xi=k]\cap[Xj=p])- E(Xi^2)

Mais je ne vois pas le rapport ... enfin, y a une vague ressemblance entre la forme au carré et l'espérance mais y a le produit avec les Proba qui change tout ....

Donc je ne vois pas vraiment où l'énoncé veut en venir ...

Eos.

Posté par
franzre : probabilité 30-12-05 à 21:44

Tu es bien parti

2\,\Bigsum_{1\le%20i%3Cj\le%20n}~X_iX_j%20+%20\Bigsum_{i=1}^n~X_i^2=\(n a\)^2

Donc par linéarité de l'espérance
2\,\Bigsum_{1\le%20i%3Cj\le%20n}~E(X_iX_j)%20+%20\Bigsum_{i=1}^n~E\(X_i^2\)=\(n a\)^2           \red (1)

Comme les X_i et les X_j ont des rôles symétriques on a pour tout couple (i,j)\;{\rm tel que }\;i\neq j
E(X_iX_j)=E(X_1X_2)
De plus
E\(X_i^2\)=V(X_i)+E\(X_i\)^2=\[(na)\,\frac 1 n\,\(1-\frac 1 n\)\]+\[(na)\,\frac 1 n\]^2=a\(1-\frac 1 n\)+a^2

\red (1) s'écrit alors
2\,\frac {n(n-1)}2\,E(X_1X_2)\;+\;n\(a(1-\frac 1 n)+a^2\)\;=\;n^2a^2

3$\red E(X_1X_2)\;=\;a\(a-{4$\frac 1 n}\)

Posté par Eos (invité)re : probabilité 01-01-06 à 13:01

Merci franz,

Je n'avais pas pensé à partir dans ce sens. ^^

Posté par
franzre : probabilité 02-01-06 à 21:24

Avec plaisir


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