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Probabilité,approximation d'une loi binomiale par une loi normal
Bonsoir,
Voici un exercice de probabilité. Je suis bloquée à la question N°3, pouvez vous me donner des indices, je ne sais vraiment pas comment m'y prendre.
Je remercie d'avance tous ceux qui prendront du temps pour m'aider.
Dans un 1er temps, je vous présente l'exercice, dans un second temps, mes résultats.
Dans un certain pays, 15 % de la population est contaminée par le virus du sida. On met en place une stratégie de dépistage par un test biologique qui est négatif lorsque le sujet est sain, et positif lorsque le sujet est contaminé. On néglige les risques d'erreur du test.
1) Une campagne de dépistage est mise en place sur un échantillon de 500 personnes prises au hasard dans la population. Sous quelles conditions peut-on assimiler cet échantillon à un tirage avec remise ?
2) On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de tests positifs sur l'échantillon de 500 personnes. Quelle loi suit cette variable aléatoire ? Quelle est son espérance mathématique et son écart-type ?
3) On appelle E l'événement : « plus de 20% de ces 500 tests sont positifs ». Comment calculer la probabilité de cet événement ? Est-ce humainement possible ? Vous aurez à exposer l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale (conditions d'utilisation, correction de continuité). Utilisez alors ces résultats pour la situation étudiée, et donner une valeur arrondie à 4 décimales de ce nombre.
4) De la même manière, déterminer la probabilité des évènements : E1 : »plus de la moitié de ces 200 tests sont positifs » et E2 « de 10 à 20% de ces tests sont positifs.
REPONSE 1 : La taille de l'échantillon est inférieure à 10 % de la population (500 personnes, sur des millions de gens). Donc, on assimile cet échantillon à un tirage avec remise.
REPONSE 2 : C'est la loi Binomiale, de paramètre B(500 ;0.15)
- Son espérance est E (S500) = 500 x 0.15 = 75
- Son écart type est σ (500) = √ 500 x 0.15 x 0.85 = 7.98
REPONSE 3 : Il faut ajouter les probabilités d'obtenir 101 cas, puis 102, puis 103, jusqu'à 500.
P = (X=101) + (X=102) +…..+ (X=500), le calcul est donc inhumain.
Approximation d'une loi Binomiale par une loi Normale N (75 ; 7,98)
Après, je suis coincée, aidez moi si vous pouvez, merci beaucoup.
Bonjour,
Si on approche la loi suivie par X par la loi normale N(75; 7,98), alors il faut calculer le nombre p(X>100) (et même p(X>100.5) pour tenir compte de la correction de continuité).
Si tu peux utiliser ta calculatrice, c'est direct.
Sinon, si tu dois utiliser les tables, il faut faire le changement de variable habituel (ici Y=(X-75)/7,98) pour pouvoir utiliser la table de la loi normale centrée réduite. On trouve une probabilité très très faible (de l'ordre de 7/10000).
Tout d'abord merci pour votre réponse.
Voilà, comment j'ai procédé, mais pour moi le résultat n'est pas juste, car je trouve X*>3.13 et je ne trouve pas 3.13 dans ma table des matières.
Je pose X* = X-75 / 7.98 > 100 - 75 / 7.98
X* > 3.13 ce n'est pas possible, car je ne le retrouve pas dans ma table
Et pour E1 + de 50% de 200, pour moi je comprend que c'est le même calcul
p(X*>3.13)=1-p(X*<3.13)
Dans la table on a p(X*<3.1)=0.99904 et p(X*<3.2)=0.99931
On peut donc évaluer par interpolation linéaire : p(X*<3.13)=0.99912
On en déduit alors p(X*>3.13)=1-0.99912=0,00088
Pour la 4e question, l'événement E1 est sûrement "Plus de la moitié de ces 500 tests sont positifs" (erreur d'énoncé ?)
Je pense pouvoir continuer la suite de mon exercice. Effectivement, l'énoncé doit contenir une erreur, c'est pour cela que je ne comprennais pas les questions E et E1. Je posterais mes résultats lorsque j'aurai terminbé.
Est-ce faux si j'écris cela :
P (X*> 3.1) = 1- ∏ 3.1
= 1 - O.99904
= 0.00096
P (X*> 3.2) = 1- ∏ 3.2
= 1 - O.99931
= 0. 00069
L'approximation se trouve dans l'intervalle :
0.00096 > X* > 0. 00069
Je n'ai jamais étudié l'interpolation linéaire
C'est correct. Sauf la dernière ligne où j'aurai plutôt écrit :
0,00069<p(X*>3.1)<0,00096
L'interpolation linéaire consiste à calculer une valeur inconnue entre 2 valeurs connues en faisant l'hypothèse que l'accroissement (positif ou négatif) entre les 2 valeurs est linéaire. En résumé on remplace l'arc de la courbe par un segment de droite...
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