Bonjour à tous
Un exercice apparemment simple :
On jette un dé classique à six faces jusqu'à faire apparaître un 6 .
Quelle est la probabilité pour que la somme des valeurs obtenues soit paire ?
Imod
PS : Je ne suis pas intéressé par le résultat obtenu ( aisément ) avec un robot mais par la méthode .
PPS : inutile de blanker
salut Imod ....
tout les tirages precedents le 6 devront former une somme paire
si il y a k tirages avant le 6 et que k est pair alors les cas favorables seront tout betement :
PPP....... PP (oui)
PP......... P I (non)
PP.......... P II (oui)
PPP........PIII (non)
....
jusqu'a
PIIIIIIIII......I (non)
III.................I (oui) avec I pour impair et P pour pair
il reste donc une proba qui vaut P = (1/2)k.C(k,2p) , pour p compris entre 0 et k/2.
si le nombre de tirages qui precede le "6" est impair c'est la même formule P = (1/2)k.C(k,2p) , pour p compris entre 0 et E(k/2). et cette somme vaut 1/2
donc la proba cherché pour ta question vaudra toujours 1/2
sauf erreur
Salut Flight
Le fait de partir d'une somme paire ( égale à "0" ) offre clairement plus de chances de finir avec une somme paire qu'impaire .
La simplicité n'est qu'apparente
Imod
Bonjour,
la probabilité demandée est égale à .
Plus généralement si on lance un dé à faces numérotées de
à
la probabilité
vaut :
C'est la bonne réponse Jandri mais je suis surtout intéressé par une méthode si possible élémentaire
Imod
Je note M la chaine de Markov à 4 états : {pair, impair, fin_pair, fin_impair} commençant de 0 (donc par "l'état pair")
Fin_pair : correspond à l'état "on passe sur 6 et la somme finale est paire"
La matrice de la chaine est la suivante :
Les états 3 et 4 sont absorbants.
On considère la matrice extraite en prenant que les états transitoires
Et on calcule la matrice
Enfin pour avoir les probabilités correspondantes : on multiplie cette matrice par la matrice extraite 2x2 prenant les lignes des états transitoires, et les colonnes des états absorbants:
On obtient alors
La probabilité de partir de 0 et d'arriver à 6 avec une somme paire est de 4/7 (donné par le premier coefficient de la première ligne (on part de 0) de la première colonne (on arrive à un état pair en 6)
...vue mon erreur et surtout j'ai zapé par inadvertance la phrase clé "jusqu'à faire apparaître un 6 ."
je propose :
P = 1/6( 1+ (1/3)i
C(i,2p).(9/4)p) , la premiere somme va de i =1 à l'infini et la seconde somme va de p =0 à E(i/2)
je n'ai pas reussi à reduire cette expression , j'ai effectué cependant des test avec des tres grandes valeurs de n et le resultat donne : 0,5714
J'ai une méthode relativement simple avec un graphe qui correspond certainement à la chaîne de Markov de Lionel ( je ne connais pas cette théorie ) .
Imod
La variable (rang du premier 6) suit la loi géométrique de paramètre
donc
pour
.
La probabilité pour que la somme des valeurs obtenues soit paire se calcule par la formule des probabilités totales :
où les sont indépendantes de loi uniforme sur
.
De et de
on déduit
(suite arithmético-géométrique).
On reporte cela dans l'expression de pour obtenir
(avec la somme de deux séries géométriques).
Bonsoir
@ verdurin
si on remplace 6 par 1 on a
où les sont indépendantes de loi uniforme sur
.
Puis avec
d'où
Rebonjour à tous les deux
Voilà comment j'avais vu les choses pour le dé à six faces :
Les cadres en pointillés indiquent des situations ouvertes , x et y sont les probabilités que de telles situations de somme paire ou impaire se finalisent avec une somme paire . Les cadres rouges représentent des étapes finales .
Le premier schéma donne : et le deuxième
, il n'y a plus qu'à résoudre le système .
Imod
Bonjour,
je me suis aperçu que j'ai fait une faute de calcul dans ma généralisation à un dé à faces le 19-02-23 à 19:51.
Les bonnes valeurs sont et
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