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Probabilité d'une somme paire

Posté par
Imod
19-02-23 à 11:13

Bonjour à tous

Un exercice apparemment simple :

On jette un dé classique à six faces jusqu'à faire apparaître un 6 .

Quelle est la probabilité pour que la somme des valeurs obtenues soit paire ?

Imod

PS : Je ne suis pas intéressé par le résultat obtenu ( aisément ) avec un robot mais par la méthode .
PPS : inutile de blanker

Posté par
flight
re : Probabilité d'une somme paire 19-02-23 à 18:56

salut Imod ....
tout les tirages precedents le 6 devront  former une somme paire
si il y a k tirages avant le 6 et que  k est pair  alors les cas favorables seront tout betement :
PPP.......   PP   (oui)
PP.........    P I   (non)
PP..........  P II  (oui)
PPP........PIII  (non)
....
jusqu'a  
PIIIIIIIII......I   (non)
III.................I    (oui)  avec I pour impair et P  pour pair

il reste donc  une proba qui vaut P = (1/2)k.C(k,2p)    , pour p compris entre 0 et k/2.

si le nombre de tirages qui precede le "6" est impair  c'est la même formule  P = (1/2)k.C(k,2p)    , pour p compris entre 0 et E(k/2).  et cette somme vaut  1/2
donc la proba cherché pour ta question vaudra toujours  1/2
sauf erreur

Posté par
Imod
re : Probabilité d'une somme paire 19-02-23 à 19:27

Salut Flight

Le fait de partir d'une somme paire ( égale à "0" ) offre clairement plus de chances de finir avec une somme paire qu'impaire .

La simplicité n'est qu'apparente

Imod

Posté par
jandri Correcteur
re : Probabilité d'une somme paire 19-02-23 à 19:51

Bonjour,
la probabilité demandée est égale à \dfrac47.

Plus généralement si on lance un dé à n faces numérotées de 1 à n la probabilité p_n vaut :

p_{2m}=p_{2m+1}=\dfrac{m+1}{2m+1}

Posté par
Imod
re : Probabilité d'une somme paire 20-02-23 à 11:08

C'est la bonne réponse Jandri mais je suis surtout intéressé par une méthode si possible élémentaire

Imod

Posté par
lionel52
re : Probabilité d'une somme paire 20-02-23 à 15:14

Je note M la chaine de Markov à 4 états : {pair, impair, fin_pair, fin_impair} commençant de 0 (donc par "l'état pair")
Fin_pair : correspond à l'état "on passe sur 6 et la somme finale est paire"

La matrice de la chaine est la suivante :


\begin{pmatrix}
 \\ 2/6 & 3/6 & 1/6 & 0\\ 
 \\ 3/6 & 2/6 & 0 & 1/6\\ 
 \\  0&0  & 1 &0 \\ 
 \\ 0 & 0 &0  & 1
 \\ \end{pmatrix}


Les états 3 et 4 sont absorbants.
On considère la matrice A extraite en prenant que les états transitoires
A = \begin{pmatrix}
 \\ 2/6 & 3/6 \\ 
 \\ 3/6 & 2/6\\ 
 \\ 
 \\ \end{pmatrix}

Et on calcule la matrice

(I - A)^{-1} = \frac{6}{7}\begin{pmatrix}
 \\ 4 & 3 \\ 
 \\ 3 & 4\\ 
 \\ 
 \\ \end{pmatrix}

Enfin pour avoir les probabilités correspondantes : on multiplie cette matrice par la matrice extraite 2x2 prenant les lignes des états transitoires, et les colonnes des états absorbants:  
R = \frac{1}{6}I_2


On obtient alors (I_2 - A)^{-1}R = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}
 \\ 4 & 3 \\ 
 \\ 3 & 4\\ 
 \\ \end{pmatrix}

La probabilité de partir de 0 et d'arriver à 6 avec une somme paire est de 4/7 (donné par le premier coefficient de la première ligne (on part de 0) de la première colonne (on arrive à un état pair en 6)

Posté par
flight
re : Probabilité d'une somme paire 20-02-23 à 15:21

...vue mon erreur et surtout j'ai zapé par inadvertance  la phrase clé   "jusqu'à faire apparaître un 6 ."

je propose  :

P = 1/6(  1+ (1/3)iC(i,2p).(9/4)p)  , la premiere somme va de i =1 à l'infini et la seconde somme va de  p =0 à E(i/2)
je n'ai pas reussi à reduire cette expression , j'ai effectué cependant des test avec des tres grandes valeurs de  n et le resultat donne : 0,5714

Posté par
dpi
re : Probabilité d'une somme paire 20-02-23 à 17:19

>flight
Tu sembles retomber sur les 4/7 de jandri

Posté par
Imod
re : Probabilité d'une somme paire 20-02-23 à 18:16

J'ai une méthode relativement simple avec un graphe qui correspond certainement à la chaîne de Markov de Lionel ( je ne connais pas cette théorie ) .

Imod

Posté par
jandri Correcteur
re : Probabilité d'une somme paire 20-02-23 à 20:30

La variable T (rang du premier 6) suit la loi géométrique de paramètre \dfrac16 donc P(T=n)=\dfrac{5^{n-1}}{6^n} pour n\geq1.

La probabilité pour que la somme S des valeurs obtenues soit paire se calcule par la formule des probabilités totales :

p=\sum_{n=1}^{\infty}P(T=n)P(S \text{ paire}/T=n)

P(S \text{ paire}/T=n)=P(X_1+X_2+\dots X_{n-1}\text{ paire})=u_{n-1}
où les X_k sont indépendantes de loi uniforme sur [[1,5]].

De u_n=\dfrac25u_{n-1}+\dfrac35(1-u_{n-1}) et de u_0=1 on déduit u_n=\dfrac12(1+(-1/5)^n) (suite arithmético-géométrique).

On reporte cela dans l'expression de p pour obtenir p=\dfrac47 (avec la somme de deux séries géométriques).

Posté par
jandri Correcteur
re : Probabilité d'une somme paire 20-02-23 à 21:09

On peut poser la même question en remplaçant 6 par 1, on obtient une probabilité différente.

Posté par
verdurin
re : Probabilité d'une somme paire 20-02-23 à 22:30

Bonsoir

jandri @ 20-02-2023 à 21:09

On peut poser la même question en remplaçant 6 par 1, on obtient une probabilité différente.

Certainement pas.

Posté par
jandri Correcteur
re : Probabilité d'une somme paire 20-02-23 à 22:53

@ verdurin

si on remplace 6 par 1 on a P(S \text{ paire}/T=n)=P(X_1+X_2+\dots X_{n-1}\text{ impaire})=v_{n-1}
où les X_k sont indépendantes de loi uniforme sur [[2,6]].

Puis v_n=\dfrac35v_{n-1}+\dfrac25(1-v_{n-1}) avec v_0=0 d'où v_n=\dfrac12(1-1/5^n)

Posté par
Imod
re : Probabilité d'une somme paire 23-02-23 à 18:33

Rebonjour à tous les deux

Voilà comment j'avais vu les choses pour le dé à six faces :

Probabilité d\'une somme paire

Les cadres en pointillés indiquent des situations ouvertes , x et y sont les probabilités que de telles situations de somme paire ou impaire se finalisent avec une somme paire .  Les cadres rouges représentent des étapes finales .

Le premier schéma donne :  \frac x3 +\frac y2+\frac 16=x et le deuxième \frac x2 +\frac y3=y , il n'y a plus qu'à résoudre le système .

Imod

Posté par
jandri Correcteur
re : Probabilité d'une somme paire 25-02-23 à 18:47

Bonjour,

je me suis aperçu que j'ai fait une faute de calcul dans ma généralisation à un dé à n faces le 19-02-23 à 19:51.

Les bonnes valeurs sont p_{2m}=\dfrac{m+1}{2m+1} et p_{2m+1}=\dfrac{m}{2m+1}

Posté par
Imod
re : Probabilité d'une somme paire 25-02-23 à 21:52

Oui Jandri , on peut d'ailleurs retrouver ce résultat avec le schéma précédent .

Imod



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