Niveau première

Probabilités

Posté par Elodaie (invité) 20-05-06 à 15:18

Soit la suite (Un) définie par :
         U(indice 0 )= 1/2
         pour tout n, U(indice n+1)= ( 5U(indice n)+4 ) / ( U(indice n)+2 )

   1) Trouver la fonction f telle que U(indice n+1) = f( U(indice n) ).
   2) On pose Vn = (Un - 4) / (Un + 1).
Démontrer que la suite (Vn) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
   3) Donner l'expression de Vn en fonction de n puis celle de Un en fonction de n.
   4) Démontrer que la suite (Vn) converge vers 0 et déterminer la limite de la suite (Un).

Dans cette exercice, je n'arrive à rien faire !
je n'arrive même pas à commencer...
merci d'avance de l'aide que vous pourrez m'apporter.

Posté par re : Probabilités 20-05-06 à 15:21

Bonjour, tu es sûre que c'est des probabilités ?

Posté par Elodaie (invité)Suites 20-05-06 à 15:44

excusez-moi

je me suis trompé de titre. j'ai confondu avec mon autre exercice.

celui-ci concerne les suites

mais pouvez vous m'aider quand même ???

Posté par Joelz (invité)re : Probabilités 20-05-06 à 15:51

Bonjour Elodaie

1.
La fonction f verifiant f(Un)=Un+1 est $f(x)=\frac{5x+4}{x+2}$
2.
On a:
$3$V_{n+1}=\frac{U_{n+1}-4}{U_{n+1}+1}=\frac{5U_n+4-4U_n-8}{5U_n+4+U_n+2}$
donc $3$V_{n+1}=\frac{U_n-4}{6(U_n+1)}$
donc $\fbox{\red{3$V_{n+1}=\frac{1}{6}V_n}}$
donc Vn est geomatrique de raison 1/6 et de 1er terme V0=(U0-4)/(U0+1)=-7/3.

Posté par Joelz (invité)re : Probabilités 20-05-06 à 15:55

On en déduit donc que :
$3$V_n=V_0(\frac{1}{6})^n$
Or $3$V_n=\frac{U_n-4}{U_n+1}$
d'où $3$U_n=\frac{V_n+4}{1-V_n}$
d'où $3$U_n=\frac{V_0(\frac{1}{6})^n+4}{1-V_0(\frac{1}{6})^n}$ .

On a:
$3$V_n=V_0(\frac{1}{6})^n$
Or 1/6<1
donc $\fbox{\red{3$\lim_{n\to +\infty}V_n=0}}$
donc comme $3$U_n=\frac{V_n+4}{1-V_n}$ , on a:
$\fbox{\red{3$\lim_{n\to +\infty}U_n=4}}$

Voila sauf erreur de ma part

Joelz

Posté par Elodaie (invité)re : Probabilités 20-05-06 à 16:11

Merci Beaucoup pour cette aide précieuse je vais m'y penché sérieusement.
mais peux-tu m'expliquer comment tu est parvenu a
lim Un=4
n+
en partant de Un = (Vn+4)/(1-Vn) ???

je ne comprends pas...

Posté par Joelz (invité)re : Probabilités 20-05-06 à 16:15

On sait que Vn tend vers 0 donc comme Un = (Vn+4)/(1-Vn)
alors Un -> (0+4)/(1-0)=4

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