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Probabilités

Posté par
Yahiko 22-03-24 à 09:32

Bonjour,
j'ai besoin d'aide sur cet exercice d'entrainement du devoir commun,merci

Un médecin détecte chez un patient un symptôme d'une infection virale ne pouvant correspondre qu'à 3 variants d'un même virus (variant A,variant B et variant C).

Il sait que parmi les patients qui présentent ce symptôme :

34% sont infectés par le variant A

34% sont infectés par le variant B

32% sont infectés par le variant C

Tous les patients symptomatiques sont infectés par l'un des variants mais aucun ne peut être infecté par plus d'un variant.

Il dispose de 3 tests (test A, test B et test C) capables de détecter spécifiquement les variants A, B et C.

Il sait que 81% des patients infectés par le variant A sont positifs au test A.

Il sait que 84% des patients infectés par le variant B sont positifs au test B.

Il sait que 94% des patients infectés par le variant C sont positifs au test C.

1) Avant que le médecin effectue un test quelle est la probabilité que le patient symptomatique soit infecté par la variant A?
j'ai fait un arbre de probabilités et je calcule : 0,81*0,34 = 0,28

2) Il effectue sur le patient symptomatique le test A. Le résultat est négatif. Quelle est la probabilité que ce patient soit tout de même infecté par le variant A?
P = (0,19 * 0,34 ) / 1 - (0,81 * 0,34) = 0,0892

3)Il effectue ensuite le test B sur le même patient que précédemment. Le résultat est négatif. Quelle est la probabilité que ce patient soit infecté par le variant A?
P = (0,19 * 0,34) / (0,19 * 0,34) + (0,16* 0,34) = 0,542 ?
4) Il effectue ensuite le test C toujours sur le même patient. Le résultat est lui aussi négatif. Quelle est maintenant la probabilité que ce patient soit infecté par le variant A?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 22-03-24 à 16:09

Bonjour,

Citation :
Il sait que parmi les patients qui présentent ce symptôme :

34% sont infectés par le variant A
Citation :
1) Avant que le médecin effectue un test quelle est la probabilité que le patient symptomatique soit infecté par la variant A?
Non et pas besoin d'arbre.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 22-03-24 à 16:23

Non pour ta réponse à la question 1).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 22-03-24 à 16:37

Oui pour la question 2.

Posté par
Yahikore : Probabilités 22-03-24 à 16:37

bonjour,
1) P = 0,340

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 22-03-24 à 16:50

OK

Posté par
Yahikore : Probabilités 22-03-24 à 17:01

je pense que je me suis trompé pour la question 3, mais je ne sais pas comment procéder

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 22-03-24 à 17:33

Je ne vais plus être disponible.
Je vais signaler ton sujet pour demander à d'autres aidants d'intervenir.

Posté par
Yahikore : Probabilités 22-03-24 à 17:37

D'accord, merci

Posté par
PLSVUre : Probabilités 23-03-24 à 09:31

Bonjour,
la réponse à la question 2  est fausse
Il dispose de 3 tests (test A, test B et test C) capables de détecter spécifiquement les variants A, B et C.

34% sont infectés par le variant A
P(A)=0,34

P \bar{A}=...

Posté par
Yahikore : Probabilités 23-03-24 à 14:09

Bonjour,
Sylvieg m'avait dit que la réponse à la question 2 est bon. (À 16h37)

Posté par
lakere : Probabilités 23-03-24 à 14:51

Bonjour,

Il me semble aussi que ton résultat en 2) est correct.

Il est tout de même conseillé de nommer les évènements; je te propose ceci :

-A : le patient est atteint du variant A.
-B : le patient est atteint du variant B.
-C : le patient est atteint du variant C.

-a : le patient est positif au test A.
-b : le patient est positif au test B.
-c : le patient est positif au test C.

3) Avec ces notations on cherche p=P_{\bar{a}\cap\bar{b}}(A)

p=\dfrac{P[(A\cap\bar{a})\cap\bar{b}]}{P(\bar{a}\cap\bar{b})}=\dfrac{P(A\cap\bar{a})}{P(\bar{a}\cap\bar{b})}

j'ai obtenu P(A\cap\bar{a})=0.34\times 0.19=0.0646 et P(\bar{a}\cap\bar{b})=0.439

qui donne P_{\bar{a}\cap\bar{b}}(A)\approx 0.147

Tout ceci sous réserve de vérification par d'autres : je ne suis sûr de rien ...

Posté par
Yahikore : Probabilités 23-03-24 à 18:52

Bonjour,
P=P(P(A\bigcap{\bar{a}}) \bigcap{\bar{c}} ) / p (\bar{a}\bigcap{\bar{c}})

Posté par
lakere : Probabilités 23-03-24 à 18:57

Bonjour Yahikoj
Euh, tu parles de quoi là ?

Posté par
Yahikore : Probabilités 23-03-24 à 20:13

Il s'agit de la question 4

Posté par
lakere : Probabilités 23-03-24 à 21:30

Ah! la question 4) Je vais y revenir mais d'abord :
Au vu de ceci dans ton énoncé :

Citation :
Il dispose de 3 tests (test A, test B et test C) capables de détecter spécifiquement les variants A, B et C.


j'ai fait l'hypothèse simplificatrice que si un patient est infecté par le variant A alors les tests B et C sont négatifs autrement dit :

P_A(b)=0     P_A(\bar{b})=1    P_A(c)=0     P_A(\bar{c})=1
et 8 autres relations analogues si le patient est infecté par le variant B ou C.

Revenons à 3) :

Citation :
p=\dfrac{P[(A\cap\bar{a})\cap\bar{b}]}{P(\bar{a}\cap\bar{b})}=\dfrac{P(A\cap\bar{a})}{P(\bar{a}\cap\bar{b})}  (1)


En termes d'évènements (et avec l'hypothèse que j'ai faite) si un patient est infecté par le variant A, un test au variant B sera négatif.

(A\cap \bar{a})\subset A\subset \bar{b}

  d'où (A\cap \bar{a})\cap\bar{b}=A\cap\bar{a}

et P{(A\cap \bar{a})\cap\bar{b}]=P(A\cap\bar{a})

ce qui explique l'égalité des deux numérateurs dans (1)

Voyons 4) :

  P_{\bar{a}\cap\bar{b}\cap\bar{c}}(A\cap\bar{a})=\dfrac{P[((A\cap\bar{a})\cap\bar{b})\cap\bar{c}]}{P(\bar{a}\cap\bar{b}\cap\bar{c})}=\dfrac{P(A\cap\bar{a})}{P(\bar{a}\cap\bar{b}\cap\bar{c})} (égalité des numérateurs pour les mêmes raisons qu'en 3))

J'ai obtenu P(\bar{a}\cap\bar{b}\cap\bar{c})=0.1382

d'où le résultat pour 4 ) \approx 0.467

Mais tout ceci est à prendre avec des pincettes et mérite confirmation ou infirmation !
On m'a abandonné

Posté par
lakere : Probabilités 23-03-24 à 21:34

... en rase campagne

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 24-03-24 à 08:29

Pas totalement
Pour pouvoir répondre aux questions, je pense qu'il faut faire une l'hypothèse, non écrite dans l'énoncé, qu'il n'y a pas de faux positifs.
Autrement dit : P_{a}(\bar{A}) = 0. Idem avec b et c.
C'est un peu plus fort que ce que tu as supposé lake.

Je trouve alors comme toi pour 3).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 24-03-24 à 08:57

Citation :
C'est un peu plus fort
Non, ça revient au même.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 24-03-24 à 09:49

Je confirme 4)
Pour y arriver, j'ai utilisé, non pas un arbre, mais un disque avec 6 quartiers représentant 6 événements qui forment une partition de l'univers :
A\cap{}a , \; A\cap{}\bar{a} , \; B\cap{}b , \; B\cap{}\bar{b} , \; C\cap{}c , \; C\cap{}\bar{c}

Posté par
Yahikore : Probabilités 24-03-24 à 10:41

Merci à vous deux
Bonne journée.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 24-03-24 à 11:40

De rien et bonne journée à toi aussi
Finalement, on peut ramener les questions à des calculs de fréquence :
1) Fréquence des patients infectés par A parmi les patients asymptomatiques.
2) Fréquence des patients infectés par A parmi les patients asymptomatiques pour lesquels le résultat du test A est négatif.
3) Fréquence des patients infectés par A parmi les patients asymptomatiques pour lesquels les résultats des tests A et B sont négatifs.
4) Idem avec les trois tests.

Par exemple pour 3), il y a trois catégories de patients asymptomatiques pour lesquels les résultats des tests A et B sont négatifs :
Ceux atteints par A qui répondent négativement au test a
De même avec B et b.
Tous ceux atteints par C.
On ajoute les trois fréquences :
T= 0,340,19 + 0,340,16 + 0,32
Parmi eux, la fréquence de ceux qui sont atteints par A est 0,340,19.
D'où le résultat : 0,340,19 / T

Posté par
lakere : Probabilités 24-03-24 à 12:39

Bonjour à tous,
D'abord grand merci à Sylvieg pour être revenue sur ce fil et d'avoir confirmé mes élucubrations.
A vrai dire j'y comptais un peu
Le sujet de Yahiko m'aura fait "suer" dans tous les sens du terme (et je suis poli ...)
J'ai voulu coûte que coûte me cramponner aux probabilités conditionnelles (au prix de complications). Au final, je vois bien que Sylvieg a la bonne approche avec ses partitions.
Juste un petit commentaire : il me semble que tous les "asymptomatiques" doivent être remplacés par des "symptomatiques"
Bon dimanche à vous tous

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 24-03-24 à 15:44

Oui, enlever le a de mes "asymptomatiques"

Moi aussi, j'ai trouvé l'exercice rebutant...
J'ai fait des proba conditionnelles jusque la question 3) comprise.
C'est seulement en abordant la question 4) que j'ai pensé à autre chose.
Trop souvent, les sujets de proba ne sont que des statistiques
où les probabilités demandées sont des fréquences.

Posté par
PLSVUre : Probabilités 24-03-24 à 16:31

Bonjour,
  P = (0,19 * 0,34 ) / 1 - (0,81 * 0,34) = \red{0,0892 } \\   surprenant
P= (0,19 * 0,34 ) / 1 - (0,81 * 0,34)=-0,2108

P = (0,19 * 0,34 ) /( 1 - (0,81 * 0,34) )= 0,0468...

  c'est pour  cela que je lui demande P(\bar{A})
   on devait  lui préciser que la  spécificité des tests    valait 1
ou on pouvait le supposer àpartir de cette phrase:
Il dispose de 3 tests (test A, test B et test C) capables de détecter spécifiquement les variants A, B et C.

0,0892=\dfrac{0,34*0,19}{0,34*0,19+0,66*1}

Posté par
lakere : Probabilités 24-03-24 à 16:49

Bonjour PLSVU,

Citation :
P = (0,19 * 0,34 ) /( 1 - (0,81 * 0,34) )= 0,0468...


Il me semble que ça donne bel et bien 0.0892

Posté par
PLSVUre : Probabilités 24-03-24 à 17:10

  Bonjour Lake
  OUI      c'est OK avec les parenthèses        c'est identique au calcul que j'ai donné .
      mille excuses  
  
    

Posté par
PLSVUre : Probabilités 25-03-24 à 21:44

Bonsoir Lake

Pour la 3)  variant B    0,34% et test  positif à  0,84%
test négatif  
on cherche la probabilité que  le   patient soit atteint par le variant B sachant que le test est négatif

  P_{B \cap \bar{T}}{M}=\dfrac{0,34\times 0,16 }{,34\times  0,16+0,66}=0,0761
pour en déduire  la probabilité    que le patient  soit atteint par le variant  A

P_\bar{T}}{M}=0,0761+0,0892=0,1653

P_A(M)=\dfrac{0,0892}{0,1653}=0,540 \\

4  ) idem  que la 3    on calcule
  P_{C} \cap \bar{T}}{M}=0,0283
puis  P_\bar{T}}{M}=0,1936
P_A(M)=\dfrac{0,0892}{0,1936}=0,461 \\
théorème de Bayes et  probabilités totales ( programme )
quand  penses-tu ?
sauf erreur de calcul
labo

Posté par
PLSVUre : Probabilités 25-03-24 à 21:49

oups  qu'en ......

Posté par
lakere : Probabilités 25-03-24 à 22:19

Bonsoir Labo
Tu me tues en m'obligeant à replonger dans ce sujet (que j'ai détesté).
Je me limite à 3)
J'ai un mal de chien à comprendre tes notations ...
Avec les miennes, tu as donc :

   P_{\bar{a}}(A)=0.0892 (Résultat de la question 2)) et :

   P_{\bar{b}}(B)=0.0761

Je suis d'accord. Mais ensuite tu écris :

  

Citation :
P_\bar{T}}{M}=0,0761+0,0892=0,1653


Je ne vois pas du tout à quoi peut correspondre cette somme de deux probabilités conditionnelles

Posté par
PLSVUre : Probabilités 26-03-24 à 09:01

P_{\bar{a}}(A)=0.0892:
la probabilité d'être Malade infecté par le virus A  et d'avoir  un test négatif
   P_{\bar{b}}(B)=0.0761
la probabilité d'être Malade infecté par le virus B  et d'avoir  un test négatif
   donc la somme  c'est la probabilité d'être Malade infecté par  un virus  A ou B et d'avoir le test négatif    
  sachant aussi que les variants  n'interviennent pas dans le test de l"autre
P_{\bar{a}}(M)=\dfrac{0,0892}{0,1653}

Posté par
PLSVUre : Probabilités 26-03-24 à 09:02

oups   Bonjour cailloux

Posté par
lakere : Probabilités 26-03-24 à 13:23

Bonjour Labo,
Je ne suis pas d'accord avec ceci :

Citation :
donc la somme  c'est la probabilité d'être Malade infecté par  un virus  A ou B et d'avoir le(s) test(s) négatif(s)


Si on veut calculer la probabilité de l'évènement:
- "Le patient est infecté par le variant A ou B et les tests A et B sont négatifs"

c'est-à-dire l'évènement (A\cup B)\cap(\bar{a}\cap\bar{b})

p=P[(A\cup B)\cap(\bar{a}\cap\bar{b})]=P[A\cap(\bar{a}\cap\bar{b})]+P[B\cap(\bar{a}\cap\bar{b})] ( A et B disjoints)

p=P(A\cap\bar{a})+P(B\cap\bar{b}) (avec l'hypothèse évoquée plus haut).

p=0.34\times 0.19+0.34\times 0.16=0.119
_________________________________________________
Il y a aussi un argument pour supposer que quelque chose ne va pas dans ce que tu as écrit:

- Question 2) on cherche la probabilité  que le patient soit infecté par le virus A sachant qu'il est négatif au test A.

- Question 3) on cherche la probabilité  que le patient soit infecté par le virus A sachant qu'il est négatif aux tests A et B.

- Question 4) on cherche la probabilité  que le patient soit infecté par le virus A sachant qu'il est négatif aux tests A, B et C.

Intuitivement, les 3 probabilités trouvées doivent être dans un ordre croissant.

Or tu trouves une probabilité en 4) plus petite que celle trouvée en 3). Je ne trouve pas cela "logique".

Posté par
lakere : Probabilités 26-03-24 à 13:27

Mais de toute manière, la "bonne manière" d'aborder cet exercice, plutôt  que de s'enferrer dans des probabilités conditionnelles, c'est ce qu'à suggéré Sylvieg à 11h40 avec les partitions et les fréquences.

Posté par
lakere : Probabilités 26-03-24 à 13:44

J'ai l'impression (je me trompe peut-être) que tu confonds certaines choses :

Citation :
P_{\bar{a}}(A)=0.0892:
la probabilité d'être Malade infecté par le virus A  et d'avoir  un test négatif
  


Non : la probabilité d'être infecté par le variant A et d'avoir un test A négatif se note P(A\cap \bar{a})

  P_{\bar{a}}(A) est la probabilité d'être infecté par le variant A sachant que le test A est négatif. Ce n'est pas la même chose.

Posté par
PLSVUre : Probabilités 28-03-24 à 12:50

Bonjour Lake
J'ai revu les notations  
pour  la 2  voir graphique   (  erreur T2  lire  \bar A
  
2)  Ce test  est le premier test effectué sur une personne malade  infectée peut-être par le virus  A
voir arbre   une branche  MA
on trouve P _{\bar{T}}A=0.0892
la probabilité d'être infecté par le virus A   sachant que le test pour le virus A   est négatif
les tests  B et C  ne changent pas la valeur du test pour le variant A
le malade ne pouvant être infecté par un seul  et unique variant
3) second test pour le variant B
arbre    une branche  MB

on trouve   P _{\bar{T}}B=0.0761

on a deux deux probabilités   d'être infecté  avec un test négatif soit ave le variant A   soit avec la variant B

P(\bar{T})=P _{\bar{T}}B+P _{\bar{T}}A==0,153 \\       
d'où
P _{\bar{T}}A=\dfrac { P _{\bar{T}}A  } {P _{\bar{T}}B+P _{\bar{T}}A}=0.539


4) on peut  avoir  un arbre à trois  branches  MC

on obtient un arbre à trois branches     M_A ,M_B ,M_C
  puisque la somme des probabilités vaut 1

   P _{\bar{T}} C}=0.0283  
et enfin la dernière valeur pour  le  variant A
P _{\bar{T}} {A}=0,461

Probabilités

Posté par
lakere : Probabilités 28-03-24 à 16:05

Bonjour Labo,
J'ai vu mais permets-moi de faire une pause sur ce sujet qui m'a carrément donné une crise d'urticaire. J'en ai besoin ...
J'y reviendrai ... plus tard.

Posté par
PLSVUre : Probabilités 05-04-24 à 10:36

Bonjor lake
J'ai   fini par trouver  comme toi ...
   A partir  des arbres ....
  

Probabilités

Probabilités

Posté par
lakere : Probabilités 05-04-24 à 12:56

Bonjour Labo
J'avais bien en tête qu'il fallait que je revienne sur ce fil mais je repoussais régulièrement l'échéance au lendemain.
Merci à toi : tu m'enlèves une grosse épine du pied.
Nous sommes enfin d'accord : je suis bien content

Posté par
PLSVUre : Probabilités 05-04-24 à 17:40

Bonjour   Cailloux
Merci  pour ton message    

Posté par
lakere : Probabilités 05-04-24 à 23:09

Bonsoir Labo,
Oui, nous sommes d'accord via des arbres ou (et) des probabilités conditionnelles.
Au risque de me répéter, nous nous sommes empêtrés toi et moi dans ces probabilités conditionnelles.
La bonne manière de "comprendre" cet énoncé est celle de Sylvieg (voir plus haut) via ses partitions et les fréquences associées.  

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Probabilités 06-04-24 à 11:00

Moi aussi, j'avais commencé par m'y empêtrer


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