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Probabilités BTS (révisions)

Posté par
borneo 31-05-08 à 20:07

Bonjour,

je cherche à faire faire cet exercice de révisions (donné par leur prof) à mon "élève préféré" mais je voudrais être sûre de ma résolution.  

Enoncé :

On a dans une urne 30 boules blanches et 20 boules noires, indiscernables au toucher. On prélève simultanément 3 boules. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches parmi les 3 tirées.

1) Déterminer l'ensemble de valeurs prises par X

2) Déterminer la loi de probabilités de X. Calcul détaillé et réponses sous forme de fraction irréductible.

3) Calculer l'espérance mathématique, la variance, l'écart-type de X, arrondir à 10-2 si nécessaire. Interpréter les calculs.

4) Calculer la probabilité de prélever au moins deux boules blanches.


Voilà.


Mes réponses :

1) Valeurs de X : {0 ; 1 ; 2 ; 3 }

Ensuite, comme c'est un tirage simultané, je ne peux pas prendre la loi binomiale, alors que c'est sur la loi binomiale qu'ils ont bossé toute l'année.  

Je vais donc faire un arbre. Je suis sur la bonne voie ?

Merci de vos conseils  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 20:18

Bonjour,

Ton élève préféré connaît les C(n,p) ou pas ?

Nicolas

Posté par
veledare : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 20:22

bonsoir Bornéo
d'accord pour le 1)
pour le 2)c'est une loi hypergéométrique H(50,3,3/5)
le texte ne demande pas le nom  mais simplement le tableau des  (xi,p(xi))
je vais revenir

Posté par
borneore : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 20:22

Bonjour Nicolas  

Oui. Je commençais l'arbre, mais effectivement, c'est plus simple avec les combinaisons.

Leur prof utilise la notation Cnp

Je vais y réfléchir.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 20:27

P(X=0) ?

1ère approche : on tire simultanément
3$\mathbb{P}(X=0)=\frac{{20\choose 3}}{{30\choose 3}}=\frac{57}{203}

2èms approche : on tire une par une (mais sans remise !)
3$\mathbb{P}(X=0)=\frac{20}{30}\times\frac{19}{29}\times\frac{18}{28}=\frac{57}{203}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 20:28

P(X=3) ?

1ère approche : on tire simultanément
3$\mathbb{P}(X=3)=\frac{{10\choose 3}}{{30\choose 3}}=\frac{6}{203}

2èms approche : on tire une par une (mais sans remise !)
3$\mathbb{P}(X=3)=\frac{10}{30}\times\frac{9}{29}\times\frac{8}{28}=\frac{6}{203}

Posté par
borneore : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 20:29

Hello Veleda,

il n'a pas vu la loi hypergéométrique.  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 20:31

P(X=1) ?

1ère approche : on tire simultanément
3$\mathbb{P}(X=1)=\frac{{20\choose 2}{10\choose 1}}{{30\choose 3}}=\frac{95}{203}

2èms approche : on tire une par une (mais sans remise !)
3$\mathbb{P}(X=1)=3\times\frac{10}{30}\times\frac{20}{29}\times\frac{19}{28}=\frac{95}{203}
(On multiplie par 3 car la blanche peut être tirée en 1, 2 ou 3)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 20:32

P(X=2) ?

1ère approche : on tire simultanément
3$\mathbb{P}(X=2)=\frac{{20\choose 1}{10\choose 2}}{{30\choose 3}}=\frac{45}{203}

2ème approche : on tire une par une (mais sans remise !)
3$\mathbb{P}(X=2)=3\times\frac{10}{30}\times\frac{9}{29}\times\frac{20}{28}=\frac{45}{203}
(On multiplie par 3 car la noire peut être tirée en 1, 2 ou 3)

Posté par
borneore : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 21:01

Ce n'est pas plutôt C503 pour les cas possibles ?

Comme ils ont surtout fait la loi binomiale, je vois bien toute la classe s'engouffrer là dedans...

Posté par
veledare : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 21:03

bonsoir Nicolas,
je n'ai plus rien à dire

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 21:03

J'ai lu l'énoncé trop vite, et ai compris 30 boules dont 20 noires.
Remplacer :
30 par 50
20 par 20
10 par 30

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 21:03

Bonjour veleda !

Posté par
borneore : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 21:04

OK  

Posté par
veledare : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 21:05

à part que tu n'as pas il me semble bien lu les données numériques

Posté par
borneore : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 22:03

Je vais détailler les calculs car des fractions sont demandées, impossible de le faire à la calculatrice.

Rappel : on a 30 boules blanches et 20 boules noires (total 50)

X = nb de blanches quand on en tire 3 simultanément.

P(X=0) = C300*C203/C503


P(X=1) = C301*C202/C503


P(X=2) = C302*C201/C503


P(X=3) = C303*C200/C503

Posté par
borneore : Probabilités BTS (révisions) 31-05-08 à 22:11

P(X=0) = C300*C203/C503

= 57/980

P(X=1) = 57/196

P(X=2) = 87/196

P(X=3) = 29/140

E(X) = 0*57/980 + 1*57/196 + 2*87/196 + 3*29/140


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