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Probabilités et solutions d'un système d'équations linéaires
Sujet :
On considère le système (S) de deux équations linéaires à deux inconnus x et y :
x-2y=3
ax-by=c
Pour déterminer a, b et c on lance trois fois un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Le premier numéro sorti donne a, le deuxième b et le troisième c. Dans chaque cas, calculer la probabilité de l'évènement et donner le résultat sous la forme d'un fraction irréductible.
a) E : "Le système (S) a une infinité de solution"
b) F : "(S) n'a aucun couple solution"
c) G : "(S) a un seul couple solution"
d) H : "(S) a pour unique solution le couple (0;3)
Je n'ai encore rien fait je ne trouve pas je suis bloquer la dessus, je ne vois pas ce qu'il faut faire !!
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait !!
par combinaison Ok
{x-2y=3
{ax-by=c
{-ax+2ay=-3a
{ax-by=c
y(2a-b)=-3a+c
peut-on toujours diviser par (2a-b)?
donc le système admet une solution et une seule si....
une infinité de solution si..... ou aucune solution si.....
le système admet aucune solution si 2a-b=0
le système admet une solution et une seule si 2a-b
0
le système admet une infinité de solution si ... (je trouve pas)
le système admet une solution et une seule si 2a-b≠0 oui
et si 2a-b=0 aucune ou une infinité ....
maintenant précise les couples (a,b) pour une seule solution
une seule solution 2a-b0 :
on calcul 2a-b=0 <=> b=2a --> 2x1=2 ; 2x2=4 ; 2x3=6
les couples (a,b) pour une seule solution (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,3) ; (2,5) ; (2,6) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,4) ; (3,5) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,5) ; (4,6) ; (5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,6) ; (6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) !!
pour aucune ou une infinité 3 couples (1;2) (2;4 ) et (3;6) OK
pour une solution tu en as oublié...
puisque nombre de couples (a,b) 6*6=36
maintenant il faut déterminer le triplet (a,b,c) admettant une infinité de solution...
{x-2y=3
{ax-by=c
ax-2ay=3a
ax-by= c
2y-by=3a-c une infinité de solutions si ....
pour une solution j'en ai oublié puisque il y bien 6x6=36 mais puiqu'il faut que 2a-b0 on peut pas avoir (1,2), (2,4) et (3,6) => 36-3=33 !!
33x6=198 => p(G)=198/216 !!
tu as 36 couples (a,b) OK
tu as 36*6 triplets (a,b,c)
donc tu as 33*6 triplets qui admettent une solution unique
p=33*6/36*6=33/36=11/12
maintenant tu n'as déterminé ceux qui ont une infinité de solutions et eux qui n'ont aucune solution
le système a une infinité de solution avec les couple (1,2,3) et (2,4,6) !!
pourquoi?
2ay-by=-3a+c une infinité de solutions si ...
infinité de solution -> (1,2,3) et (2,4,6) !!
aucune solution -> (1,2,1) ; (1,2,2) ; (1,2,4) ; (1,2,5) ; (1,2,6) ; (2,4,1) ; (2,4,2) ; (2,4,3) ; (2,4,4) ; (2,4,5) ; (3,6,1) ; (3,6,2) ; (3,6,3) ; (3,6,4) ; (3,6,5) ; (3,6,6) !!
il faut que a=1 , b soit quelconque et c=3 !
(1,1,3) ; (1,2,3) ; (1,3,3) ; (1,4,3) ; (1,5,3) ; (1,6,3)
tu crois que pour (1,2,3) (S) a pour unique solution le couple (3;0)!
justification des réponses
il en manque....!!!
si (S) a pour unique couple solution (3,0)cela veut dire que dans le système x=3 et y=0.
donc on a:
{x-2y=3
{ax-by=c
{3-2*0=3
{3a-0b=c
{3-0=3
{3a=c
=> a=1, b est quelconque (puisque multiplié par 0) et c=3
=> a=2, b est quelconque (puisque multiplié par 0) et c=6
!! IL NE FAUT PAS METTRE (1,2,3) ET (2,4,6) CAR CES TRIPLETS AMÈNE A UNE INFINITÉ DE SOLUTION !!
!! IL NE FAUT PAS METTRE (1,2,3) ET (2,4,6) CAR CES TRIPLETS déterminent UNE INFINITÉ DE SOLUTIONS!!
d'où les probabilités....
Bonjours je ne comprend pas pourquoi
infinité de solution -> (1,2,3) et (2,4,6) !!
aucune solution -> (1,2,1) ; (1,2,2) ; (1,2,4) ; (1,2,5) ; (1,2,6) ; (2,4,1) ; (2,4,2) ; (2,4,3) ; (2,4,4) ; (2,4,5) ; (3,6,1) ; (3,6,2) ; (3,6,3) ; (3,6,4) ; (3,6,5) ; (3,6,6) !!
Bonjour aureeliie,
x-2y=3
x-2y-3=0 équation de la droite d
k(x-2y-3)=0 avec k≠0 est aussi une équation de la droite d
2x-4y-6=0
3x-6y-9=0
ax-by-c=0 est aussi une équation d'une droite D
par identification
si a=1 b=2 et c=3 alors d et D sont confondues
si a=2 b=4 et c=6 alors d et D sont confondues
si a=3 b=6 et c=9 impossible car 1≤c≤6
d'où deux triplets (1;2;3)et (2;4;6)pour une infinité de solutions.
Cinq triplets (1;2;c)avec c≠3 , cinq triplets(2;4,c)avec c≠6
et six triplets (3;6;c) pour aucune solution :les droites d et D étant parallèles
tous les autres triplets admettent une seule solution :intersection des deux droites
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