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Problème

Posté par
enigma
28-08-17 à 18:32

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre mon exercice qui est :

Montrer que la fonction h(x) = \frac{3*sin(x)}{x(2-cos(x))} est dérivable en 0.

Précédant cette question, j'ai montré que h(x) était prolongeable par continuité en 0.

Mais je n'arrive pas à prouver la dérivabilité en 0..

Si quelqu'un peut m'aider.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème 28-08-17 à 18:39

Bonjour,
La fonction h n'est pas dérivable en 0 car elle n'y est pas définie.
Si g est son prolongement par continuité en 0 , on peut envisager la question de la dérivabilité de la fonction g en 0 .
Qu'as-tu trouvé pour g(0) ? C'est à dire comme limite de f en 0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème 28-08-17 à 18:42

Coquille : Limite de h en 0 .

Posté par
enigma
re : Problème 28-08-17 à 18:42

Bonjour, j'ai trouvé 1 !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème 28-08-17 à 18:51

Ne pas oublier le 3 devant sin(x) au numérateur.

Posté par
malou Webmaster
re : Problème 28-08-17 à 18:58

n^e multicompte ....

Posté par
geeegeee124
re : Problème 28-08-17 à 19:06

Bonjour,

je ne sais pas si c'est dans le programme mais il y a les DL(développement limité).
3(sinx)/x(2-cos x)= DL en 0 = 3(x-x^3/6)/((x-x^3/2))=3 car x^3 est négligeable devant x en zero.

Posté par
geeegeee124
re : Problème 28-08-17 à 19:13

Bonjour,


Pourquoi ne pas faire lim(x->0) ( h(x)-h(0))(x-0) en 0+ et 0- avec les DL on voit que cela fait...

Posté par
Razes
re : Problème 29-08-17 à 03:54

Bonsoir,

h(x) = \dfrac{3\sin x}{x(2-\cos x)} =  \dfrac{\sin x}{x}.\dfrac{3}{2-\cos x}

\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x-\sin 0}{x-0}= \cos 0=1

\lim_{x\to 0}h(x)=1.\dfrac{3}{2-\cos 0}=\dfrac{3}{2-1}=3

Posté par
flight
re : Problème 29-08-17 à 11:43

salut

sinon le theoreme de l'hopital

par derivation du numerateur et denominateur

on obtient  3cosx /(2-cosx +xsinx)   et la lim en 0 donne immediatement 3

Posté par
Razes
re : Problème 29-08-17 à 12:43

@flight,

Je ne sais pas si  le théorème de l'hôpital est au programme? mais ça revient au même que ce que j'ai fait, seulement dans mon cas je me suis basé sur la définition de la dérivée.

(\sin x)'=\cos x

\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x-\sin 0}{x-0}= \cos 0=1

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