Un agriculteur souhaite réaliser un enclos rectangulaire contre un mur pour ses poules. Il dispose de 21 m de grillage et doit tout utiliser.
L'objectif de cette exercice est de déterminer les dimensions de l'enclos afin que son aire soit maximale. On note l et x respectivement la largeur et la profondeur de l'enclos, en mètres.
a. Quelle est l'aire de l'enclos si x = 3m
b. Quelles sont les valeurs possibles de x ?
c. On note A la fonction qui, à x associe l'aire de l'enclos correspondant. Détermine A.
d. Avec l'aide de la calculatrice ou un tableur complète le tableau de valeurs de la fonction A.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10,5
A(x)
e. A l'aide du tableau, décris l'évolution de A(x) en fonction de x et donne un encadrement du nombre pour lequel A(x) semble maximal.
f. je vais le faire moi même c'est un graphique
g. Complète ce nouveau tableau de valeurs puis donne un encadrement au dixième du nombre x pour lequel A(x) semble maximal.
h. Calcule A(5,25)-A(x) puis montre que cette expression est égale à 2(x-5,25)².
i. Détermine le signe de cette expression et déduis-en la valeur du nombre x pour lequel A(x) est maximal.
j. Déduis-en les dimensions de l'enclos d'aire maximale.
* Modération > Image recadrée, sur la figure uniquement ! faire Ctrl F5 *** *
Pourquoi 1 ? entre 0 et 10,5 plutôt
c'est vrai que 0 n'est pas réaliste pour un poulailler mais c'est une valeur minimum
e.
Au départ A(x) augmente puis il arrive au nombre 55 pour lequel A(x) semble maximal puis sa descend de plus en plus jusqu'à zéro.
g.
4,8 54,72
4,9 54,88
5 50
5,1 55,08
5,2 55,12
5,3 55,12
5,4 55,08
j. L'aire semble maximale pour une largeur comprise
entre 5,2 et 5,3.
d'un coté tu développes A(5,25)-A(x)
de l'autre 2(x-5,25)²
et tu montres que ça donne la même chose.
Pour h.
[(21-(2*5,25)]*5,25-(21-2x)*x
(21-10,5)*5,25 -21x-2x²
= 55,125 - 21x-2x²
=2(x-5,25)²
=2(x²-10,5x+27,5625
=2x²-21x+55,125
C'est bon ?
oui A(5,25)-A(x) = 2(x-5,25)² est un carré donc toujours positif
ça veut dire que A(x) A(5,25) pour tout x et que le maximum est donc atteint pour x = 5,25 (pas 5,2 et 5,3, seulement 5,25)
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :