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Problème avec les limites !
Est-ce que quelqu'un pourait m'aider je m'en sort plus et en plus le prof nous aides pas !
f défini sur par réel-(-1;1) par f(x)=(x^4)/(x²-1) et C courbe représentative dans un repère.
1°) Déterminer lim f(x) en + infini et en - infini
2°)a) Déterminer a, b et c tel que f(x)=ax²+bx+c+((dx+e)/(x²-1))
b) g est la fonction définie sur réel par g(x)=x²+1 et P la parabole représentative de g.
Démontrer que lim f(x)-g(x)=0
x
-infini
et lim f(x)-g(x)=0
x + infini
c) Etudier les positions relatives de C et P selon les valeurs de x.
d) Démontrer que la courbe C admet deux asymptotes verticales.
salut
f(x)=(x^4)/(x²-1) = x^4 * (1/[x^2*(1-1/x²)]) = x^2 * [1/(1-1/x²)]
avec cette derniere forme de f(x) que l'on fasse tendre x vers +oo ou -oo on a comme resultat +oo
2a) on met f(x)=ax²+bx+c+((dx+e)/(x²-1))
au meme denominateur or ceci est egal a : f(x)=(x^4)/(x²-1)
au numerateur, il n'y aura plus qu'a identifier les coefficients.
normalement ce doit etre f(x)=x²+1 + 1/(x²-1)
a voir.
pour 2b) on utilisera la forme de f(x) obtenue en 2a.
lim(f(x)-g(x))=lim (1/(x²+1))=0
x->+oo x->+oo
meme chose pour la limite en -oo.
c) la encore on utilisera la forme de f(x) obtenue en 2a.
C est au dessus de P pour x dans I <=> f(x)-g(x)>=0, x dans I
donc on resoud f(x)-g(x)>=0
or f(x)-g(x)=1/(1+x²) et ceci est toujours positif.
donc C toujours au dessus de P.
d) les 2 asymptotes verticales sont x=-1 et x=1
pour cela on etudiera les limites de f en -1 et en 1.
normalement on doit avoir +oo ou -oo.
ce qui confirme que ce sont bien 2 asymptotes.
tout ceci est a verifier.
j'ai vite fais ca .
a+
Je vais essayer de faire l'exo mais ceux qui peuvent completer les explications n'hésitez pas car pour moi cet exo est vraiment dur !
le mieux essaye de comprendre ce que je viens de dire.
vas y pas a pas.
des que ca coince, pose une question dans ce post.
moi ou d'autres pourront t'aider.
J'ai un problème, à la question 2a je trouve :
(ax^4+bx^3+x²(c-a)+x(d-b)+e-c)/(x²-1)
et f(x)=x^2 * [1/(1-1/x²)]
Comment faire pour trouver a, b et c ? (j'ai trouvé que a=1 b=0 et c=2 , mais je suis pas sur ! aidez-moi svp.)
tu as
f(x)=(x^4)/(x²-1) (la forme que tu as donnee c'est bon pour les limites)
on met f(x)=ax²+bx+c+((dx+e)/(x²-1))
au meme denominateur :
f(x)=(ax^4+bx^3+x²(c-a)+x(d-b)+e-c)/(x²-1)
ce qui fait que x^4/(x²-1) = (ax^4+bx^3+x²(c-a)+x(d-b)+e-c)/(x²-1)
2 fractions rationnelles egales avec leurs denominateurs egaux => leurs numerateurs sont egaux (si tu preferes on multiplie par x²-1, x different de -1 et 1)
donc x^4=ax^4+bx^3+x²(c-a)+x(d-b)+e-c, x different de -1 et de 1.
deux polynomes egaux. il sont de meme degre donc leurs coefficients sont egaux.
donc a=1
b=0
c-a=0 =>c=1
d-b=0 donc d=0
et e-c=0 donc e=1
conclusion f(x)=x² +1 +1/(x²-1)
si tu as d'autres questions, n'hesite pas.
autre facon de faire
tu as f(x)=x^4/(x²-1)
or x^4=x^4-1 + 1 = (x^2-1)*(x²+1) + 1
donc x^4/(x²-1)= [(x^2-1)*(x²+1) +1 ]/(x²-1) = (x²-1)*(x²+1)/(x²-1) +1/(x²-1) = x²+1 + 1/(x²-1), car x²-1 non nul pour x dans R\{-1,1}
donc f(x)=x^4/(x²-1)=x²+1 + 1/(x²-1)
Pour la question 2c je sais que C est au-dessus jusqu'à -1 puis en dessous jusqu'à 1 et finallement au dessus à nouveau (j'ai fait à la calculatrice),mais c'est bon j'ai réussi à le démonter !
oui c'est le resultat pour la 2c)
petite erreur de signe dans mon message du 23/03/2005 a 20h27
c'est pas f(x)-g(x)=1/(1+x²)
mais f(x)-g(x)=1/(x²-1)
et 1/(x²-1)>=0 <=> x dans ]-oo,-1[union]1,+oo[
(tableau de signe pour le voir, si il faut)
donc f(x)-g(x)>=0 <=> x dans ]-oo,-1[union]1,+oo[
ce qui confirme ton resultat.
que veux tu dire par question 3 ?
est la question 2c ?
2d ?
ou une autre ?
(ou encore autre chose mais je ne vais pas tout citer)
Désolé j'ai oublié de marquer cette question !
3°) Etudier les variations de f et g puis tracer P, C et les deux asymptotes (pour le tracer c'est bon)
C'est juste pour savoir quelle forme de f et de g prendre
bon pour g y'en a qu'une et l'etude de cette fonction est rapide.
pour f, il reste a etudier la derivee et apres voir son signe.
moi je prendrais :
f(x)=x² +1 +1/(x²-1)
car le calcul de la derivee est rapide :
f'(x)=2x -2x/[(x²-1)²] = 2x*[1- 1/[(x²-1)²] = 2x*[(x²-1)² -1]/[(x²-1)²]
f'(x)>=0 <=> 2x*[(x²-1)²-1]>=0, x different de 1 et de -1 <=> 2x*(x²-2)*x²>=0, x different de 1 et de -1 <=>2*x(x²-2)>=0, x different de 1 et de -1
car x²>=0 pour tout x.
petit tableau de signe pour conclure.
f'(x)>=0 <=> x dans [-1/V2,0] union [1/V2,+oo[
et la encore : a verifier.
oups non c'est
f'(x)>=0 <=> x dans [-1/V2,0] union [1/V2,1[union]1,+oo[
honte a moi...
A la fin le -1/V2 v c'est racine ?
Je vous remercie vraiment de m'avoir aidé pour cet exo au début il était dur mais finallement en cogitant plus j'aurais put trouvé enfin je pense ! encore merci !
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