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Problème avec les limites !

Posté par
juliendu5788
23-03-05 à 20:13

Est-ce que quelqu'un pourait m'aider je m'en sort plus et en plus le prof nous aides pas !

f défini sur par réel-(-1;1) par  f(x)=(x^4)/(x²-1) et C courbe représentative dans un repère.
1°) Déterminer lim f(x) en + infini et en - infini
2°)a) Déterminer a, b et c tel que f(x)=ax²+bx+c+((dx+e)/(x²-1))
   b) g est la fonction définie sur réel par g(x)=x²+1 et P la parabole représentative de g.
Démontrer que lim f(x)-g(x)=0
               x -infini
et lim f(x)-g(x)=0
  x + infini

c) Etudier les positions relatives de C et P selon les valeurs de x.
d) Démontrer que la courbe C admet deux asymptotes verticales.

Posté par minotaure (invité)re : Problème avec les limites ! 23-03-05 à 20:27

salut

f(x)=(x^4)/(x²-1) = x^4 * (1/[x^2*(1-1/x²)]) = x^2 * [1/(1-1/x²)]
avec cette derniere forme de f(x) que l'on fasse tendre x vers +oo ou -oo on a comme resultat +oo

2a) on met f(x)=ax²+bx+c+((dx+e)/(x²-1))
au meme denominateur or ceci est egal a :  f(x)=(x^4)/(x²-1)

au numerateur, il n'y aura plus qu'a identifier les coefficients.

normalement ce doit etre f(x)=x²+1    + 1/(x²-1)
a voir.

pour 2b) on utilisera la forme de f(x) obtenue en 2a.

lim(f(x)-g(x))=lim (1/(x²+1))=0
x->+oo         x->+oo
meme chose pour la limite en -oo.

c) la encore on utilisera la forme de f(x) obtenue en 2a.

C est au dessus de P pour x dans I <=> f(x)-g(x)>=0, x dans I

donc on resoud f(x)-g(x)>=0
or f(x)-g(x)=1/(1+x²) et ceci est toujours positif.
donc C toujours au dessus de P.

d) les 2 asymptotes verticales sont x=-1 et x=1
pour cela on etudiera les limites de f en -1 et en 1.
normalement on doit avoir +oo ou -oo.
ce qui confirme que ce sont bien 2 asymptotes.

tout ceci est a verifier.
j'ai vite fais ca .
a+

Posté par
juliendu5788
Je vais essayer 23-03-05 à 20:37

Je vais essayer de faire l'exo mais ceux qui peuvent completer les explications n'hésitez pas car pour moi cet exo est vraiment dur !

Posté par minotaure (invité)re : Problème avec les limites ! 23-03-05 à 20:45

le mieux essaye de comprendre ce que je viens de dire.
vas y pas a pas.
des que ca coince, pose une question dans ce post.

moi ou d'autres pourront t'aider.

Posté par
juliendu5788
Problème avec les limites ! 24-03-05 à 18:41

J'ai un problème, à la question 2a je trouve :

(ax^4+bx^3+x²(c-a)+x(d-b)+e-c)/(x²-1)

et f(x)=x^2 * [1/(1-1/x²)]

Comment faire pour trouver a, b et c ? (j'ai trouvé que a=1  b=0  et c=2  , mais je suis pas sur ! aidez-moi svp.)

Posté par minotaure (invité)re : Problème avec les limites ! 24-03-05 à 19:12

tu as
f(x)=(x^4)/(x²-1) (la forme que tu as donnee c'est bon pour les limites)

on met f(x)=ax²+bx+c+((dx+e)/(x²-1))
au meme denominateur :

f(x)=(ax^4+bx^3+x²(c-a)+x(d-b)+e-c)/(x²-1)


ce qui fait que x^4/(x²-1) = (ax^4+bx^3+x²(c-a)+x(d-b)+e-c)/(x²-1)

2 fractions rationnelles egales avec leurs denominateurs egaux => leurs numerateurs sont egaux (si tu preferes on multiplie par x²-1, x different de -1 et 1)

donc x^4=ax^4+bx^3+x²(c-a)+x(d-b)+e-c, x different de -1 et de 1.

deux polynomes egaux. il sont de meme degre donc leurs coefficients sont egaux.

donc a=1
b=0
c-a=0 =>c=1
d-b=0 donc d=0
et e-c=0 donc e=1

conclusion f(x)=x² +1 +1/(x²-1)

si tu as d'autres questions, n'hesite pas.


Posté par minotaure (invité)re : Problème avec les limites ! 24-03-05 à 19:15

autre facon de faire

tu as f(x)=x^4/(x²-1)

or x^4=x^4-1 + 1 = (x^2-1)*(x²+1) + 1

donc x^4/(x²-1)= [(x^2-1)*(x²+1) +1 ]/(x²-1) = (x²-1)*(x²+1)/(x²-1) +1/(x²-1) = x²+1  + 1/(x²-1), car x²-1 non nul pour x dans R\{-1,1}

donc f(x)=x^4/(x²-1)=x²+1  + 1/(x²-1)

Posté par
juliendu5788
Problème avec les limites ! 24-03-05 à 19:45

Pour la question 2c je sais que C est au-dessus jusqu'à -1 puis en dessous jusqu'à 1 et finallement au dessus à nouveau (j'ai fait à la calculatrice),mais c'est bon j'ai réussi à le démonter !

Posté par minotaure (invité)re : Problème avec les limites ! 24-03-05 à 19:49

oui c'est le resultat pour la 2c)

petite erreur de signe dans mon message du 23/03/2005 a 20h27

c'est pas f(x)-g(x)=1/(1+x²)

mais f(x)-g(x)=1/(x²-1)

et 1/(x²-1)>=0 <=> x dans ]-oo,-1[union]1,+oo[
(tableau de signe pour le voir, si il faut)

donc f(x)-g(x)>=0 <=> x dans ]-oo,-1[union]1,+oo[

ce qui confirme ton resultat.

Posté par
juliendu5788
Dernière question ! 24-03-05 à 20:13

Est-ce qu'il serait posible de me décrire la question 3 ? (merci de votre confirmation)

Posté par minotaure (invité)re : Problème avec les limites ! 24-03-05 à 20:21

que veux tu dire par question 3 ?

est la question 2c ?
2d ?

ou une autre ?

(ou encore autre chose mais je ne vais pas tout citer)

Posté par
juliendu5788
Oups ! 24-03-05 à 20:27

Désolé j'ai oublié de marquer cette question !

3°) Etudier les variations de f et g puis tracer P, C et les deux asymptotes (pour le tracer c'est bon)
C'est juste pour savoir quelle forme de f et de g prendre

Posté par minotaure (invité)re : Problème avec les limites ! 24-03-05 à 20:39

bon pour g y'en a qu'une et l'etude de cette fonction est rapide.

pour f, il reste a etudier la derivee et apres voir son signe.

moi je prendrais :


f(x)=x² +1 +1/(x²-1)

car le calcul de la derivee est rapide :

f'(x)=2x  -2x/[(x²-1)²] = 2x*[1- 1/[(x²-1)²] = 2x*[(x²-1)² -1]/[(x²-1)²]

f'(x)>=0 <=> 2x*[(x²-1)²-1]>=0, x different de 1 et de -1 <=> 2x*(x²-2)*x²>=0, x different de 1 et de -1 <=>2*x(x²-2)>=0, x different de 1 et de -1

car x²>=0 pour tout x.

petit tableau de signe pour conclure.

f'(x)>=0 <=> x dans [-1/V2,0] union [1/V2,+oo[

et la encore : a verifier.

Posté par minotaure (invité)re : Problème avec les limites ! 24-03-05 à 20:41

oups non c'est


f'(x)>=0 <=> x dans [-1/V2,0] union [1/V2,1[union]1,+oo[

honte a moi...

Posté par
juliendu5788
Petite précision 24-03-05 à 21:01

A  la fin le -1/V2 v c'est racine ?
Je vous remercie vraiment de m'avoir aidé pour cet exo au début il était dur mais finallement en cogitant plus j'aurais put trouvé enfin je pense ! encore merci !

Posté par minotaure (invité)re : Problème avec les limites ! 24-03-05 à 21:22

oui -1/V2 = -1/(racinecarreede2)

et de rien.

a+ sur l'ile.



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