Un peu.
... "et les x où f' s'annule sont en nombre fini"

Alors ce que je ne comprends pas c'est pourquoi dans le cas où f' > 0 et les x où f' s'annule ne forme pas un intervalle cela ne reste pas vrai.

A plus

Ce n'est pas la même chose.
L'ensemble des 1/n avec n entiers n'est pas fini, mais n'est pas un intervalle pour autant.

Nombre fini de réels : x₁, x₂, ..., x_N STOP
Nombre infini de réels :
- nombre infini dénombrable : l'ensemble des 1/n, n entier naturel>1 (ils sont tous dans [0,1])
- encore plus "nombreux" (dans un sens qui serait à préciser) : l'ensemble des rationnels de [0,1]
Un intervalle : [0,1]

Imaginons une fonction dont f' s'annule une infinité de fois, sans pour autant que tout les f' qui s'annule forme un intervalle.

Dans ce cas présent f est strictement croissante non?

A plus

Peut-être qqc comme cela :
"si f' est positive ou nulle, et si l'ensemble (éventuellement infini) des points où f' s'annule ne contient pas d'ouverts, alors f est strictement croissante".
A vérifier...

Trouvé sur Internet, à vérifier :
"f est strictement croissante ssi f' positive ou nulle, et l'ensemble des points où f' s'annule est d'intérieur vide".

Pourrais-tu m'expliquer ce que veux dire l'ensemble des points où f' s'annule est d'intérieur vide?

A plus

Bonjour, clemclem.

Ce que je veux dire est imprécis donc faux, mais être d'intérieur vide signifie "en gros" ne pas contenir d'intervalles ouverts ]a,b[.

Ces souvenirs sont un peu lointains pour moi, et j'ai pas eu le temps de fouiller dans mes livres hier. J'espère que qqun pourra te répondre précisément aujourd'hui. Sinon, j'essaie de regarder prochainement. Désolé de ne pas pouvoir te répondre clairement plus vite.

Nicolas

Merci Nicolas_75

Si quelqu'un connaît la réponse il peut se manifester

A plus

Salut,

Bon, pour moi aussi, la topologie, c'est un peu loin.

Autant que je me souvienne (désolé clemclem si ca ne te dit rien, mais on va vulgariser juste après), l'interieur d'un ensemble c'est l'union des boules ouvertes contenues dans cet ensemble. Bref, c'est tres joli. On peut dire aussi (si je me souviens toujours bien) que c'est le plus grand ouvert contenu dans l'ensemble en question. Waow. Trop cool.

Alors si on considere comme ensemble la droite reelle, ca va aller un peu mieux. Les boules ouvertes, c'est des intervalles ouverts.

Donc, être d'intérieur vide pour un sous-ensemble de R, c'est bien ne pas contenir d'intervalle ouvert...

Pas si imprécis que ca, Nico

En tout cas il me semble.

Après, pour trouver un contre exemple de fonction dérivable à dérivée strictement positive mais nulle seulement sur un ensemble d'intérieur vide, et qui ne soit pas strictement croissante (la fonction, pas sa dérivée) (j'ai rien oublié???), eh ben, heu... Comme ca, là, je vois pas.

A+
Biondo

Comme dit pas biondo, l'intérieur d'un ensemble est le plus grand ouvert inclus cet ensemble.
Dans R donc, être d'intérieur vide signifie ne contenir aucun intervalle ouvert non vide, c'est donc bien ce qui disait Nicolas_75.

Pour le reste, tout ceci est faux, car il faut énoncer ces théorèmes sur des intervalles et c'est une condition à part entière...

On peut être strictement croissante à dérivée nulle sur un ensemble "plus grand que fini"(x->sin(x)+x).
On peut être strictement croissante et être à dérivée nulle partout, même sur un ensemble d'intérieur aussi grand que souhaité.(non trivial)

Sur un intervalle I de R,
f'>0 implique f strictement croissante.
Si f est strictement croissante, alors f' s'annule sur un intervalle d'intérieur non vide.

Sinon:
- nombre infini dénombrable : l'ensemble des 1/n, n entier naturel>1 (ils sont tous dans [0,1])
- encore plus "nombreux" (dans un sens qui serait à préciser) : l'ensemble des rationnels de [0,1]

Quel est ce sens de "plus nombreux" ici?


Je l'interprète comme suit :
f' > 0 et les x où f' s'annule ne forme pas un intervalle.
Je me trompes?
Oui, R-{0} n'est pas un intervalle, et on ne peut pas faire plus grand dans R, comme ensemble qui ne soit pas un intervalle.
Si R-{0} était fini alors R le serait...

Et pour être complet, ton passage eng ras n'a rien de vaseux, il est totalement rigoureux.
Il te dit que l'ensemble des solutions de f'(x)=0 est fini.
A+

Merci à vous tous

A plus