Voila c'est un DM a rendre pour la rentrée, je ne suis pas sûr de mes résultats. A mon avis, cette exercice est connu, mais je ne l'ai pas trouvé :s. Voila la bête :

Dans un cylindre à base circulaire de 10cm (et de hauteur aussi grande que l'on veut), repose une bille, de 7cm de rayon que l'on recouvre d'eau jusqu'à affleurement. On remplace la bille par une autre bille, de x cm de rayon ( 0 < x ≤ 10 ), la quantité d'eau dans le cylindre restant exactement la même.

Etudions le phénomène : - la bille est-elle sous l'eau?
                        - la bille sort-elle de l'eau?
                        - peut-il y avoir encore affleurement?
Afin d'alléger l'écriture, nous appellerons la bille x, la bille de x cm de rayon, et donc désignerons par V(x) le volume d'eau dans le cylindre qui permet de recouvrir exactement la bille x.

Notons, et ceci est imporant pour la suite, que la bille initiale est la bille 7, et donc que le volume d'eau qui la recouvre exactement est V(7).

Modélisation :
Sans mobiliser de "grandes" connaissances en physique, nous pouvons affirmer que

- si V(7) > V(x) : la bille x est sous l'eau
- si V(7) = V(x) : il y a affleurement
- si V(7) < V(x) : la bille x sort de l'eau

Autrement dit, le problème revient à étudier le signe de V(x) - V(7), pour 0<x≤10

Indication :
V(x)-V(7) est un polynome de degré 3 en x, 7 est évidemment racine de ce polynome, on admet que l'on peut factoriser (x-7), vous chercherez donc les reels a, b et c tels que v(x)-V(7) = (x-7) (ax²+bx+c) .

Fin^^
Voila comment j'ai procédé :

1- je calcule V(x)
V(x)= Volume du cylindre (de hauteur le diametre de la bille) - volume de la bille

V(x)= ( 100 X 2x ) - ( 4/3x³ )

V(x)= 200x - 4/3x³ )

2- je calcule V(7)

V(7)= 1400 - 1372/3

V(7)= 2828/3 cm³

3- pose V(x) - V(7)

V(x)-V(7) = -4/3x³ + 200x - 2828/3

4- On cherche les réels a, b et c tels que v(x)-V(7) = (x-7) (ax²+bx+c)

(x-7)(ax²+bx+c) = ax³ + (b-7a)x² + (c-7b)x - 7c

On pose donc le sysème suivant (2 polynomes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients) :
  
{ a = -4/3

{ b-7a = 0 b = 7 X -4/3 b = -28/3

{ c-7b = 200 c = 7 X -28/3 + 200 c = 404/3

On obtient donc le produit :


(x-7)(-4/3x² - 28/3x + 404/3)


On sait que 7 est une racine de ce produit.

5- Or, -4/3x² - 28/3x + 404/3 est un polynôme du second degré.

C'est à partir de la que je doute de mes résultats :s

Discriminant : 7248/9² >0

Racine 1 : (-7-453) / 2 -14 (sort du domaine de définition)

Racine 2 : (-7+453) / 2 7.14 (appartient  au domaine de définition)

Donc,ici,

-4/3x² - 28/3x + 404/3 = 0 lorsque
x = (-7+453) / 2

6- Tableau de signe - conclusion :

V(x)-V(7) < 0 lorsque x ]0;7[ U ]((-7+453) / 2) ; 10]
---> Bille sous l'eau

V(x)-V(7) > 0 lorsque x ]7;((-7+453) / 2)[
---> Bille sort de l'eau

V(x)-V(7) = 0 lorsque x = 7 , x = ((-7+453) / 2)
---> Il y a affleurement

Voila, si quelqu'un arrive à relire, et corriger mon charabia, il sera très très sympa! Merci D'avance!

Kaigho