Merci d'avance pour m'aider à résoudre ce problème…99999 x !


Soit ABCD un tétraèdre. On considère les points E, F, G, H, I, et J milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA], [BD] et [CA]. Les quadrilatères EFGH et EJGI sont des parallélogrammes.

1. Démontrer que les segments [EG], [FH], et [IJ] se coupent en leur milieu O.
2. Démontrer que les  vecteurs OA + OB+ OC + OD = 0
3. On considère le repère (A, vecteur AB, vecteur AC, vecteur AD). Déduire de 2. les coordonnées du point O.
4. Déterminer les coordonnées de J, G et H.
5. Démontrer que les vecteurs OG, OH et OJ ne sont pas coplanaires.

Réponses

1. La diagonale du parallélogramme EFGH est (EG). Or (EG) est aussi la diagonale du parallélogramme EJGI donc les diagonales (EG) et (IJ) se coupent en un même point O. De plus, (FH) est aussi une diagonale de EFGH donc les segments [FH] et [IJ] se coupent bien en leur milieu O.

Est-ce juste ? Cela me semble court comme raisonnement…Merci de m'aider…

2. On sait que O est le centre du parallélogramme EFGH et que E est le milieu de [AB], F milieu de [BC], G de [DC] et H de [AD]. En conclusion : vecteur OB = vecteur OA = vecteur OD = vecteur OC, les vecteurs ayant toujours la même valeur, car O est situé à égale distances des points B, A, C et D on en déduit que vecteur OB = vecteur OA = vecteur OD = vecteur OC = 0

Le raisonnement est-il correct ?

3. O = ½ vecteur EG = ½ vecteur FH = ½ vecteur IJ donc O = [(1/2)/2, (1/2)/2, (1/2)/2 ] = (1,1,1)

Le résultat me semble étrange, O ne devrait pas se situer ici dans le repère ! non ? merci de votre aide.

4. J (1/2, 0, ½)
G (1/2, ½, 0)
H ( 0, ½, ½)

Je pense que le résultat est exact, non ?

5. On prendra @ pour alpha et & pour beta. O est dans le plan (OGHI) donc vecteur OG, vecteur GH, vecteur GF sont coplanaires donc GO est combinaison linéaire des deux autres

GO = (x, y, z)
GO = @GH + & GF
GH = (-1/2, 0, ½ )
GF = (0, -1/2, 0)
@GH = (-1/2@, 0, ½@)
& GF ( 0, -1/2&, 0 )

DONC @GH + &GF = (-1/2@, -1/2&, ½@)

On procède de même pour le plan (OEJ) et on devrait trouver une autre valeur pour le résultat ci-dessus. Doit on aller jusqu'au bout de la démonstration ou écrire ce que j'ai fait suffit ? merci de me le dire et de m'aider si c'est la cas car je ne parviens pas plus loin de ma démonstration.

MERCI A TOUS DE VOS REPONSES ET DE VOTRE AIDE QUI M'EST TRES PRECIEUSE…