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Probléme pour un dm
Coucou, j’ai besoin d’aide pour cet exo de maths sur les suites. Merci d’avance.
Enoncé :
Une municipalité envisage l’anémagement d’un plan d’eau artificiel. Dans le projet, ce plan d’eau devra contenir 30 000 mètre cube le 1er juillet.
On estime qu’en période estivale les pertes hydriques dues à l’évaporation sont de 2% par jour. Pour les compenser, on prévoit durant les mois d’été un apport, pendant chaque nuit, de 500 mètre cube.
Le problème est de savoir si les apports prévus pendant les mois de juillet et août seront suffisants pour que le volume ne descende pas en dessous de la valeur critique de 27 000 mètre cube. On note Vn, le volume d’eau en mètre cube contenu dans le plan d’eau, selon ce projet, au matin du ne jour qui suit le 1er juillet. V0 désigne le volume au matin du 1er juillet, on a donc V0= 30 000 mètre cube et V1 désigne le volume au matin du 2 juillet.
1) Calculer V1, V2,V3
2) Expliquer pourquoi Vn+1=Vn x 0.98+500
Dans cette question Vn+1 est écris avec n+1 appartenant à V, écris en petit.
3) On considère la suite (Vn) définie par la relation de récurrence précédente et ayant pour premier terme V0= 30000.
A) cette suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? justifier
B) pour tout entier n , on pose Un = Vn – 25000. Démontere que (Un) est une suite géométrique . Préciser sa raison et son premier terme.
C) Exprimer Un, en fonction de n et en déduire que Vn = 5000 x 0.98ⁿ + 25000.
D) Conjecturer la limite de la suite ( Vn) ⁿAppartient a N.
4) A l’aide de la calculatrice déterminer à partir de quelles valeurs n on a : Vn <27000 ? En déduire la réponse au problème posé en intro.
Voilà mon exo, j’ai fais la 1, mais après je comprends pas, car on a pas fais le cours et cet exo fait parti d’un dm.
Merci beaucoup d’avance.
Je reprend depuis le debut pour la coherence.D'après les données de l'énoncé, on obtient:
V1=30 000 - ((2/100)30000)+500=29900
V2=29900 - ((2/100)29900)+500=29802
de meme V3=29705.96
si on factorise un peu , on peut ecrire:
V1=30000((100/100)-(2/100))+500=30000*(98/100) + 500=30000*0.98+500
on peut faire de meme pour les autres, je pense que cela suffit comme explications
donc on a Vn+1 = Vn*0.98+500
cette suite est arithmetico-geometrique parce qu'elle combine les deux ecritures formelles des suites arithmetiques et geometriques qui sont respectivement:
Un+1 = Un + r
Un+1 = q*Un
ici on peut dire que r = 500 et q = 0.98
on pars de Un = Vn-25000
donc Un+1=Vn+1-25000
a partir de là tu calcules U1,U2,U3 et on connait aussi U0 puisqu'on connait V0
Uo=Vo-25000= 5000
U1=V1-25000 = 4900
U2=4802
U3=calcule le
avec tu peux trouver une relation liant Un et Un+1 de la manière suivante:
(comme tu dois demontrer qu'elle est geometrique c'eest qu'elle est de la forme(c le terme genral d'une suite geometrique) Un=q puissance n *Uo)
d'ou U1=q puissance n * Uo = q puissance n*5000
4900 = q*5000
de meme
4802 = q*q*4900
donc q=4900/5000=0.98
tu peux verifier les reponses a chaque fois
finalement Uo=5000
Un=0.98puissance n *Uo ce qui prouve que c'est une suite geometrique
et sa raison c q = 0.98
on a Un = Vn - 25000
par conséquent Vn = Un +25000
comme Un= q puissance n * Uo = 0.98 puissance n * 5000
Vn = 0.98 puissance n * 5000 + 25000
pour les limites:
-quand n tend vers 0 ben 0,98 puissance n tend vers 1 et Vn vers 30000
-quand n tend vers l'in,fini comme 0.98<1 0.98 puissance n tend vers o donc Vn tend vers 25000
en fait N va etre le nb de jours.Si on prend N = 60 pour la saison estivale Vn=environ26487 metres cubes<27000. Il n'y aura donc pas assez d'eau.
^pour repondre a la question la dernière
0.98 puisssance n * 5000 +25000 <27 000
0.98 puissance n * 5000 < 2000
0.98 puissance n < 0.4
ln(0.98 puissance n) = n * ln(0.98)<ln(0.4)
n < (ln(0.4)/ln(0.98)
n < 45
après plus de quarantes cinq jours le seuil critique est dépassé le niveau descend en dessous des 27000 metres cubes
voila j'espère que c assez clair bonne chance
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