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probleme suites
voici un probleme sur les suites (assez long) qui me pose quelques problemes, je me fis a votre gentillesse pour m'aider , merci d'avance a tout le monde et bonne chance . voici l'énoncé
un capital initial c0 de 600 € est placé sur un compte rapportant 5 % d'interets annuels. On note Cn le capital acquis au bout de n années (n entiers naturel ).
a) calculer le capital cn+1 en fonction de Cn
b) en deduire l'expression de Cn en fonction de n
c) trouver le nombre minimal d'années nécessaires pour que le capital ainsi placé ait au moins triplé.
2) un autre épargnant place egalementun capital initial de 600 euros au taux annuel de 5% d'interets et fait un versements supplémentaire de 150 euros aà la fin de chaque années. On appelle d0 le capital initial et dn le capital ainsi acquis à la fin de la n-iéme année.
a) calculer d1 ,d2 et d3
b) verifier que pour tout entier naturel n ; dn+1= 1.05dn+150
c) soit (vn) la suite definie par vn= dn+3000
- calculer v0 et v1
- demontrer que la suite (vn) est geometrique de raison q=1.05
-ecrire vn en fonction de v0 et de n
- d) en deduire dn en fonction de n
e) a partir de combien d'années le capital dn aura t-il au moins triplé ?
ben c'est sur qu'ils'agit d'interet comopose
alors si l capital etait Cn,l'annee suivante en lui ajoutant les 5/100, il devient
Cn+(5/100)Cn=1,05Cn
donc on remarque qu'il s'agit d'une progression geometrique de raison 0,05 dont le premier terme est C0=600
D'ou
Cn=C0x0,05n
je t'invite a verifier le rang(et je dis verifier et non pas demontrer car on ne demontre pas par un exemple)en remarquant que C1=C[sub][/sub]0x0.05 donc l'exposant de 0.05 est 1 pour n=1
donc il faut resoudre l'equation en n
Cn=3C0=3x600=1800
donc C0x0,05n=3C0
on remarque que le C0 disparait dans cette equation ce qui signifie que quelque soit le ca[pital initial donne
le nbre d'annees necessaires pour tripler le capital est le meme
l'equation devient
0,05n=3
ln0,05n=ln3 (1)
n=E(ln3/ln0,05)+1 (2)
[donc vaut mieux puisque n represente un entier et on ne peut pas passer de l'equation (1) a (2) en considerant la meme inconnue
utiliser une autre notation pour n
par exemple x]
pour demontrer que Vn est geometrique il suffit de diviser Vn+1/Vn le resultat doit etre une constante
Vn+1/Vn=(dn+1+3000)/(dn+3000)
=(1,05dn+150+3000)/(dn+3000)
=1,05(dn+3000)/(dn+3000)=1,05
il faut remarquer que 3150=1.05x3000 pour factoriser ensuite le numerateur par 1.05
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