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Niveau première
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problème sur les barycentres

Posté par une fille qui a (invité) 03-04-04 à 16:24

bonjour ,
je suis en 1ere et j'ai un exercice sur les barycentres à faire
et j'avoue que c'est vraiment dur :dès le début je suis
bloquée......Donc je fait appel à vous.

voici le problème:
"Soit ABCDE un pentagone.Soit I ,J et K les milieux respectifs des egments
[AB] ,[CD] et [AE].
On appelle G1 le centre de gravité du triangle ABC,G2 celui du triangle
ADE et G3 celui de IJK.
1)Démontrer que G3 est le mileu du segment [G1G2].
2)Soient N et M les milieux respectifs des segments [BC] et [DE].On appelle
P le mileu de [AM].
a)Prouver que G3 est le centre de gravité du triangle AMN.
b)Démontrer que les points N,G3,et P st alignés.
c)On appelle G4 le centre de gravité du triangle BCD.La droite (G3G4)
coupe la droite (AE) en Q.Déterminer le nombre réel k tel que vecteurAE=kvecteurAQ."

Est ce que qq parmi vous peut m'aider svp?

merci d'avance.

Posté par
Victor
re : problème sur les barycentres 03-04-04 à 18:53

Bonsoir,

G1 est le barycentre de (A;1)(B;1)(C;1)
G1 est donc le barycentre de (I;2)(C;1)

G2 est le barycentre de (A;1)(D;1)(E;1)
G2 est donc le barycentre de (K;2)(D;1)

Le point G3 est le barycentre de (I;2)(J;2)(K;2)
Or J est le barycentre de (C;1)(D;1).
Donc G3 est le barycentre de (I;2)(C;1)(D;1)(K;2)
En utilisant l'associativité du barycentre, on a donc :
G3 barycentre de (G1;3)(G2;3)
G3 est donc le milieu de [G1G2]

G3 est le barycentre de (I;2);(J;2);(K;2)
donc de (A;2)(B;1)(C;1)(D;1)(E;1).
En regroupant (B;1) et (C;1) on obtient (N;2) et
en regroupant (D;1) et (E;1) on obtient (M;2)
Donc G3 est le barycentre de (A;2);(M;2);(N;2), c'est-à-dire le centre
de gravité de AMN.

(AP) passe par un sommet et par le milieu du côté opposé donc (AP) est
une médiane de AMN.
Donc le centre de gravité G3 appartient à (AP).

@+

Posté par Guillaume (invité)re : problème sur les barycentres 03-04-04 à 19:15

G3 centre de gravitede IJK:
G3I+G3J+G3K=0
comme I et K et J sont les limieu on utilise la formule du "parallelogramme":
(1/2)(G3A+G3B)+(1/2)(G3C+G3D)+(1/2)(G3A+G3E)=0
on simplifie:
(G3A+G3B)+(G3C+G3D)+(G3A+G3E)=0
on rearrabge pour se placer dan sles deux triangles ou G1 et G2 peuvent
apparaitre...:
(G3A+G3B+G3C)+(G3A+G3E+G3D)=0
la on utilise la formule du barycentre sur chaque parenthese:
3G3G1+3G3G2=0
G3G1=G2G3
donc G3 milieu de G1G2

2)a)d'apres questioj precedente:
AG3=(1/2)(AG1+AG2)
or AG1=(2/3)AN
et AG2=(2/3)AM
d'ou
AG3=(1/3)(AN+AM)
3AG3=AN+AM=AG3+G3N+AG3+G3M
AG3=G3N+G3M
G3N+G3M+G3A=0
donc G3 centre de gravite de AMN

b)on a
G3N+G3M+G3A=0
soit
(G3M+G3A)+G3N=0
la parenthese vaut 2G3P car P mileu de AM
2G3P+G3N=0
G3N=(-1/2)G3P
donc G3, P et N alignés

je te laisse la fin:
Ps cet exo est assez compliqué, essaie de bien comprendre comment je
passe d'une ligne a une autre
A+



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