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Problème sur les suite numériques
Bonjour, je bloque sur un exercice sur les suites, je ne comprend pas grand chose, es-ce que quelqu'un pourrait m'aider, ce serait sympas.
énocé: Les n chevaux portent les numéros de 1 à n. Malgré deux forfaits, la course a lieu(n
3).
1) On note a et b avec a<b les numéros des chevaux forfaits et S la somme des numéros partants. Justifiez l'inégalité: 3<a+b<2n-1, puis montrer que [(n-1)(n-2)]/2<S<[(n-2)(n+3)]/2.
2) Montrer que (n-1)/2<M<(n+3)/2 (1), M étant la moyenne des numéros partants.
3) On sait que M=12,4; Envisager les entiers solutions de (1) et en procédant par élimination trouver n.
4) En déduire la valeur de a+b et résoudre complètement le problème en donnant les valaurs possibles de a et de b.
Merci d'avance.
Bonjour,
1) a et b peuvent valoir au minimum 1 et 2 et au maximum n-1 et n.
Donc
1+2 <= a+b <= n+n-1
3 <= a+b <= 2n-1
La somme de tous les entiers de 1 à n est n(n+1)/2
S est égale à cette somme moins (a+b)
Donc :
n(n+1)/2-2n+1 <= S <= n(n+1)/2-3
(n²-3n+2)/2 <= S <= (n²+n-6)/2
Ce qui correspond à l'inégalité cherchée.
2) La moyenne est égale à la somme divisée par le nombre de chevaux partants soit S/(n-2)
D'où le résultat.
3) On cherche n vérifiant l'inégalité avec M=12,4.
A toi de jouer...
1)
a + b minimum a lieu pour a = 1 et b = 2 -> a+ b >= 1 + 2
a + b >= 3
3 <= a + b (1)
a + b est max pour b = n et a = n-1 -> a+b = 2n-1
et donc a+b <= 2n-1 (2)
(1) et (2) ->
3 <= a + b <= 2n-1 (3)
---
S + a + b = 1 + 2 + ... + n
S + a + b = n.(1+n)/2
S = n.(1+n)/2 - (a + b)
A partir de (3) :
3 <= a + b <= 2n-1
-3 >= - (a+b) >= -(2n-1)
n.(1+n)/2 - 3 >= n.(1+n)/2 - (a+b) >= n.(1+n)/2 - (2n-1)
(n.(1+n)-6)/2 >= n.(1+n)/2 - (a+b) >= [n.(1+n) - (4n-2)]/2
(n²+n-6)/2 >= S >= (n²-3+2)/2
(n²-3n+2)/2 <= S <= (n²+n-6)/2
[(n-1)(n-2)]/2 <= S <= [(n-2)(n+3)]/2 (4)
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2)
Moyenne des partants = S/(n-2) (somme des numéros des partants divisée par le nombre des partants).
En partant de (4):
-> [(n-1)(n-2)]/2 <= S <= [(n-2)(n+3)]/2
(n-1)/2 <= S/(n-2) <= (n+3)/2
(n-1)/2 <= M <= (n+3)/2
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3)
(n-1)/2 <= 12,4 <= (n+3)/2
n-1 <= 24,8 <= n+3
n-1 <= 24,8
n <= 25,8
et comme n est entier, on a: n <= 25
24,8 <= n+3
21,8 <= n
et comme n est entier, on a: n >= 22
possibilités à envisager: n = 22, 23 , 24 et 25
a)
si n = 22, il y a donc 20 partants:
M = 12,4 = S/20
S = 248
1+2+3+...+22 = 22*23/2 = 253
avec 253-248 = 5 (par exemple chevaux 1 et 4 ne partent pas ou bien chevaux 2 et 3 ne partent pas)
C'est tout à fait possible.
b)
si n = 23, il y a donc 21 partants:
M = 12,4 = S/21
S = 262,5 -> impossible car S daoit être entier.
c)
si n = 24, il y a donc 22 partants:
M = 12,4 = S/22
S = 272,8 -> impossible car S daoit être entier.
d)
si n = 25, il y a donc 23 partants:
M = 12,4 = S/23
S = 282,5 -> impossible car S daoit être entier.
Donc la seule possibilité est n = 22.
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4)
voir le point 3a.
a+b = 5
Et donc 2 possibilités: chevaux 1 et 4 ne partent pas ou bien chevaux 2 et 3 ne partent pas
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Sauf distraction. 
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