Soit le point A(X ; Y)
Eq des droites passant par A et de pente m.

y = mx + k
Y = mX + k -> k = Y - mX

y = mx + Y - mX

-> le système.
y = x²
y = mx + Y - mX

x² = mx + Y - mX
x² - mx - Y + mX = 0
Qui doit avoir une racine double (puisque tangente).
-> déterminant = 0.
m² - 4(mX-Y) = 0
m² - 4mX + 4Y = 0
m = 2X +/- racine(4X² - 4Y)
m = 2X +/- 2.racine(X² - Y)    

Si les 2 tangentes sont perpendiculaires m1*m2 = -1

[2X - 2.racine(X² - Y)][2X - 2.racine(X² - Y)] = -1
4X² - 4(X²-Y) = -1
4X² - 4X² + 4Y = -1
Y = - 1/4

Et donc, les points de l'ensemble cherché sont sur la droite d'équation
y = -1/4.
----
Sauf distraction.

je suis tout a fait d'accord avec le raisonnement et je vous
en remerci bcp, le seul soucis c'est a partir du "déterminant"
pourriez vous me détaillez un peu car je ne saisi pas le mot "déterminant".

merci

Soit une équation du second degré:

Ax² + Bx + C = 0  (1)
Le déterminant est = B² - 4AC.

Si le déterminant est < 0 , l'équation (1) n'a pas de solution.
Si le déterminant est = 0 , l'équation (1) a un racine double (2
fois la même solution).
Si le déterminant est > 0 , l'équation (1) a 2 solutions.
----
Dans le cas du problème,
On a l'équation
x² - mx - Y + mX = 0

Les solutions de cette équation donnent les points de rencontre de la
parabole avec une des droites qu l'on veut tangente à la parabole.

Si la droite est tangente à la parabole, il n'y a donc qu'un
seul point de contact entre la droite et la parabole.
Donc l'équation x² - mx - Y + mX = 0  doit avoir une seule racine.
Donc son déterminant doit être nul.

Si on compare Ax² + Bx + C = 0 avec x² - mx - Y + mX = 0 , on a:
A = 1 ; B = -m et C = mX - Y

Donc le déterminant (B² - 4AC) est égal à :

m² - 4.(1*(mX-Y)) = m² - 4mX + 4Y
---

OK ?

Ah merci bcp en fait, déterminant = pour moi DISCRIMINANT
c pour sa que je comprenais pas. Merci bcp.
merci de m'avoir aider je vous suis très reconnaissant. Au plaisir...

Mon vocabulaire mathématique date de très longtemps et cela explique
certaines différences.

Utilise les termes qu'on t'a appris, cela est sûrement plus correct.

une derniere chose svp : j'aimerai que vous m'expliquiez
au niveau des solutions m. je comprend jusqu'a m²-4mx+4y=0 mais
je ne comprend pas la suite pour les solutions, pourriez vous m'éclairer
un peu.

Merci encore

Les solutions d'une équation du second degré Ax² + Bx + C =
0
son données par x = [-B +/- racine(B²-4AC)]/(2A)

Dans le cas de l'équation
m²-4mX+4Y=0
(ATTENTION, ici X et Y sont les coordonnées du point A de l'énoncé et pas
des variables, la variable ici est m)

Les solutions donnant m sont pour A = 1: B = -4X  et C = 4
->
m = [4X +/- racine(16X²-4.(1*4Y))]/(2*1)
m = [4X +/- racine(16X²-16Y)]/2
m = [4X +/- 4.racine(X²-Y)]/2
m = 2X +/- 2.racine(X²-Y)

Les 2 valeurs de m qui conviennent sont donc:
m1 = 2X - 2.racine(X²-Y)
et
m2 = 2X + 2.racine(X²-Y)
----
m1 et m2 sont les pentes (ont dit maintenant coefficient directeur)
des 2 tangentes passant par A.

Si on veut que les tangentes sont perpendiculaires, on doit avoir le
produit de leurs pentes = -1.

-> il faut m1*m2 = -1

[2X - 2.racine(X²-Y)].[2X - 2.racine(X²-Y)] = -1
4[X - racine(X²-Y)].[X - racine(X²-Y)] = -1

Penser alors à: (a-b)(a+b) = a² - b²
avec a = X et b = racine(X²-Y)

->

4(X² - (X² - Y)) = -1
4Y = -1
Y = -1/4

Et donc, il suffit que l'ordonnée Y de A soit égal  à -1/4 pour
que les tangentes à la parabolle y = x²  et issues de A soient perpendiculaires.
-----

OK ?

Merci ! c'est bcp plus clair ! j'avais du mal pour les
racines en fait. et bien je vous remerci bcp. Au plaisir de vous
reparler...

Tu auras corrigé toi-même, dans ma réponse précédente:

...
Les solutions donnant m sont pour A = 1: B = -4X  et C = 4Y
...


Attention aux autres distractions.

A+