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Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x²

Posté par Yoann (invité) 18-11-03 à 17:18

Déterminer l'ensemble des points du plan d'où l'ont
peut mener 2tangentes à la parabole d'équation y=x², qui soient
perpendiculaires entre elles.

Merci de me donner un coup de main.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x² 18-11-03 à 19:07

Soit le point A(X ; Y)
Eq des droites passant par A et de pente m.

y = mx + k
Y = mX + k -> k = Y - mX

y = mx + Y - mX

-> le système.
y = x²
y = mx + Y - mX

x² = mx + Y - mX
x² - mx - Y + mX = 0
Qui doit avoir une racine double (puisque tangente).
-> déterminant = 0.
m² - 4(mX-Y) = 0
m² - 4mX + 4Y = 0
m = 2X +/- racine(4X² - 4Y)
m = 2X +/- 2.racine(X² - Y)    

Si les 2 tangentes sont perpendiculaires m1*m2 = -1

[2X - 2.racine(X² - Y)][2X - 2.racine(X² - Y)] = -1
4X² - 4(X²-Y) = -1
4X² - 4X² + 4Y = -1
Y = - 1/4

Et donc, les points de l'ensemble cherché sont sur la droite d'équation
y = -1/4.
----
Sauf distraction.

Posté par (invité)re : Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x² 18-11-03 à 19:29

je suis tout a fait d'accord avec le raisonnement et je vous
en remerci bcp, le seul soucis c'est a partir du "déterminant"
pourriez vous me détaillez un peu car je ne saisi pas le mot "déterminant".

merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x² 18-11-03 à 19:51

Soit une équation du second degré:

Ax² + Bx + C = 0  (1)
Le déterminant est = B² - 4AC.

Si le déterminant est < 0 , l'équation (1) n'a pas de solution.
Si le déterminant est = 0 , l'équation (1) a un racine double (2
fois la même solution).
Si le déterminant est > 0 , l'équation (1) a 2 solutions.
----
Dans le cas du problème,
On a l'équation
x² - mx - Y + mX = 0

Les solutions de cette équation donnent les points de rencontre de la
parabole avec une des droites qu l'on veut tangente à la parabole.

Si la droite est tangente à la parabole, il n'y a donc qu'un
seul point de contact entre la droite et la parabole.
Donc l'équation x² - mx - Y + mX = 0  doit avoir une seule racine.
Donc son déterminant doit être nul.

Si on compare Ax² + Bx + C = 0 avec x² - mx - Y + mX = 0 , on a:
A = 1 ; B = -m et C = mX - Y

Donc le déterminant (B² - 4AC) est égal à :

m² - 4.(1*(mX-Y)) = m² - 4mX + 4Y
---

OK ?







Posté par (invité)re : Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x² 18-11-03 à 19:54

Ah merci bcp en fait, déterminant = pour moi DISCRIMINANT
c pour sa que je comprenais pas. Merci bcp.
merci de m'avoir aider je vous suis très reconnaissant. Au plaisir...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x² 18-11-03 à 20:03

Mon vocabulaire mathématique date de très longtemps et cela explique
certaines différences.

Utilise les termes qu'on t'a appris, cela est sûrement plus correct.

Posté par (invité)re : Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x² 18-11-03 à 20:08

une derniere chose svp : j'aimerai que vous m'expliquiez
au niveau des solutions m. je comprend jusqu'a m²-4mx+4y=0 mais
je ne comprend pas la suite pour les solutions, pourriez vous m'éclairer
un peu.

Merci encore

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x² 18-11-03 à 20:37

Les solutions d'une équation du second degré Ax² + Bx + C =
0
son données par x = [-B +/- racine(B²-4AC)]/(2A)

Dans le cas de l'équation
m²-4mX+4Y=0
(ATTENTION, ici X et Y sont les coordonnées du point A de l'énoncé et pas
des variables, la variable ici est m)

Les solutions donnant m sont pour A = 1: B = -4X  et C = 4
->
m = [4X +/- racine(16X²-4.(1*4Y))]/(2*1)
m = [4X +/- racine(16X²-16Y)]/2
m = [4X +/- 4.racine(X²-Y)]/2
m = 2X +/- 2.racine(X²-Y)

Les 2 valeurs de m qui conviennent sont donc:
m1 = 2X - 2.racine(X²-Y)
et
m2 = 2X + 2.racine(X²-Y)
----
m1 et m2 sont les pentes (ont dit maintenant coefficient directeur)
des 2 tangentes passant par A.

Si on veut que les tangentes sont perpendiculaires, on doit avoir le
produit de leurs pentes = -1.

-> il faut m1*m2 = -1

[2X - 2.racine(X²-Y)].[2X - 2.racine(X²-Y)] = -1
4[X - racine(X²-Y)].[X - racine(X²-Y)] = -1

Penser alors à: (a-b)(a+b) = a² - b²
avec a = X et b = racine(X²-Y)

->

4(X² - (X² - Y)) = -1
4Y = -1
Y = -1/4

Et donc, il suffit que l'ordonnée Y de A soit égal  à -1/4 pour
que les tangentes à la parabolle y = x²  et issues de A soient perpendiculaires.
-----

OK ?




Posté par (invité)re : Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x² 18-11-03 à 20:42

Merci ! c'est bcp plus clair ! j'avais du mal pour les
racines en fait. et bien je vous remerci bcp. Au plaisir de vous
reparler...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Probleme sur les tangentes a la parabole d équation y=x² 18-11-03 à 20:44

Tu auras corrigé toi-même, dans ma réponse précédente:

...
Les solutions donnant m sont pour A = 1: B = -4X  et C = 4Y
...


Attention aux autres distractions.

A+





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