Niveau première

probleme sur les trinomes du second degrè

Posté par whitedream123 (invité) 23-10-04 à 12:14

bonjour à tous !!
merci de bien vouloir m'aider pour cet exercice de premiere S sur les trinomes du second degrè...

a) Prouver que, pour tout réel x, x^4 + x^2 +1 > ou égal à 1.
Déduire que l'équation x^4+x^2+1 = 0 n'a pas de solution.

b) En écrivant x^4+x^2+1 sous la forme x^4+2x^2+1-x^2, factoriser x^4+x^2+1 en deux facteur du second degré.

c) En déduire, sans aucun calcul, que les équations x^2 - x + 1 = 0 et x^2 + x + 1 = 0 n'ont pas de solution.

merci beaucoup d'avance
@+
CC

Posté par re : probleme sur les trinomes du second degrè 23-10-04 à 13:17

Salut Whitedream123 ,

Alors, c'est parti :

a)Prouver que, pour tout réel x, $2$x^4+x^2+1\geq1$ .
Déduire que l'équation $2$x^4+x^2+1=0$ n'a pas de solution.
On va procéder par encadrements.
On sait que :

$2$x^2\geq0$
$2$x^2\times~x^2\geq0$
$2$x^4\geq0$
$2$x^4+x^2\geq0$
$2$x^4+x^2+1\geq1$

Comme quel que soit le réel $2$x$ , $2$x^4+x^2+1$ est supérieur ou égal à 1, il est évidemment impossible que $2$x^4+x^2+1=0$   (puisque 0 est inférieur à 1) dans $2$\mathbb{R}$

b)En écrivant $2$x^4+x^2+1$ sous la forme $2$x^4+2x^2+1-x^2$ , factoriser $2$x^4+x^2+1$ en deux facteurs du second degré.
Faisons ce qu'ils nous disent :

$2$x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2$
$2$x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2$               (identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ )
$2$x^4+x^2+1=(x^2+1-x)(x^2+1+x)$       (identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ )
$2$x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$

c)En déduire, sans aucun calcul, que les équations $2$x^2-x+1=0$ et $2$x^2+x+1=0$ n'ont pas de solution.
On vient de voir que :
$2$x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$

Donc, $2$x^4+x^2+1=0\quad~SSI\quad~x^2-x+1=0~\quad~ou\quad~x^2+x+1=0$

Or on a vu à la question 1 que quel que soit x, $2$x^4+x^2+1\neq0$ , donc quel que soit x, on a obligatoirement :
$2$x^2-x+1\neq0$     et     $2$x^2+x+1\neq0$

Ce qui signifie bien que les équations $2$x^2-x+1=0$    et   $2$x^2+x+1=0$ n'ont pas de solutions dans $2$\mathbb{R}$ .

Voili, voilou .
J'espère avoir pu t'aider.
Si tu as des questions, n'hésite surtout pas .

À +

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