Bonjour,

d'abord il te faut une figure bien claire, ce qui n'est pas évident!!

Ds tr ABC, on a : EF=AC/2 (1)(je parle en vecteurs) car (EF) est droite des milieux et EF et AC ont même sens.

Dans tr ADC, on a : HG=AC/2 (2) (tjrs en vecteurs : d'ailleurs je ne parle qu'en VECTEURS).)

(1) et (2) donnent : EF=HG qui suffit à montrer que EFGH est un parallélo.

Puis :

ds tr ABC, EJ=BC/2 (3)car (EJ) droite des milieux et EJ et BC même sens.

ds tr BCD, IG=BC/2 (4)

Donc (3) et (4) donnent : EG=IG qui prouve que EJGI est un parallélo.

EFGH est un parallélo donc EG et FH ont même milieu .(5)

EJGI est un parallélo donc EG et JI ont même milieu.(6)


(5) et (6) montrent que EG,FH et JI ont même milieu qu'on appelle O.

Je t'envoie ça. Je regarde la suite mais peut-être qq. d'autre avant moi...

Bonjours commence par faire un dessin.

Pour le 1, il faut prouver que les cotés opposés du parallélogramme sont parallèles.
Donc EH // FG.  Pour cela on prouve que EH est // à BD et FG // BD.
Donc, le vecteur EH doit etre proportionnel au vecteur BD, ou sous forme de formule, on doit avoir (EH) = k*(BD).  (jútilise les () pour les vecteurs)
(EH) = 1/2 (AB) + (BD) + 1/2 (DA)
                         Je met 1/2 en évidence.
     = 1/2 {(AB) + (DA) ) + (BD)
                         (DA) + (AB) = (DB)
     = 1/2 (DB) + (BD)
                         (DB) = -(BD)
     = -1/2 (BD) + (BD)
     = 1/2 (BD)

(EH) est bien proportionnel à (BD), donc (EH) et // à (BD).
Tu recommences avec FG // BD.
Et ainsi de suite avec tous les autres cotés des parallelogrammes.

La suite, c'est pour plus tard

a/
Tout est en vecteur :

EF = EB + BF = 1/2 AB + 1/2 BC = 1/2 AC = 1/2 (AD + DC)
EF = 1/2 AD +1/2 DC = HD + DG = HG.
EF = HG donc EFGH est un parallélogramme.

Même méthode pour démontrer que EJGI est un parallèlogramme.

Je te laisse continuer, fais remonter si ca bloque

J'ai cherché un peu au hasard en cherchant à faire apparaître les milieux:

OA+OB+OC+OD=(OI+IE+EA)+(OI+IE+EB)+(OI+IG+GC)+(OI+IG+GD)  (1)

Mais EA+EB=0 car E est milieu de [AB] et GC+GD=0 (idem)

(1) devient : 4OI+2(IE+IG)(2)

Mais IG=EJ donc (2) devient :

4OI+2(IE+EJ)=4OI+2IJ (3)

Mais IJ est la diago du parallélo EJGI et OI est une demi diago donc

4OI=-2IJ et (3) donne : -2IJ+2IJ=0

J'envoie.

d) On considère le repère (A; AB, AC, AD). (tous les termes sauf A  sont des vecteurs)
Déduire de (1) les coordonnées du point O.    



Le x  est sur AB, le y sur AC et le z sur AD.

L'origine du épère est A.

A(0;0;0)- B(1;0;0)-C(0;1;0)- D(0;0;1)

Coordonnées des vect ds ce repère avec O(x;y;z):

(Abscisse extrémité moins abscisse origine ,etc.)

OA(0-x;0-y;0-z)soit OA(-x;-y;-z) - OB(1-x;-y;-z) - OC(-x;1-y;-z)

et  OD(-x;-y;1-z)


OA+OB+OC+OD=0 donne :

-x+1-x-x-x=0 soit x=1/4

-y-y+1-y-y=0 soit y=1/4

-z-z-z+1-z=0 soit z=1/4

donc O(1/4;1/4;1/4)

Envoyé..

En vecteurs, on a :
OA = OE + EA
OB = OE + EB
OC = OG + GC
OD = OG + GD

OA + OB = 2 OE + EA + EB = 2 OE car E milieu de [AB]
OC + OD = 2 OG + GC + GD = 2 OG car G milieu de [CD]

D'où OA + OB + OC + OD = 2 (OE + OG) = 0 car o milieu de [EG]

J est le milieu de [AC] donc ses coordonnées sont données par :

xJ=(xA+xC)/2, pareil pour yJ et zJ

Comme : A(0;0;0)- B(1;0;0)-C(0;1;0)- D(0;0;1)

tu dois trouver :

J(0;1/2;0)

G est le milieu de [CD] donc tu auras : G(0;1/2;1/2)

H est le milieu de [AD] donc tu vas trouver : H(0;0;1/2)


Par ailleurs on sait que O(1/4;1/4;1/4)

Tu cherches les coordonnées de :

OG(0-1/4;1/2-1/4;1/2-1/4) soit OG(-1/4;1/4;1/4)

puis de OH(0-1/4;0-1/4;1/2-1/4) soit OH(-1/4;-1/4;1/4)

et OJ(0-1/4;1/2-1/4;0-1/4) soit OJ(-1/4;1/4;-1/4)

..sauf erreurs de calculs dans tout ça..

Les vecteurs OG, OH et OJ seraient coplanaires si on pouvait avoir par exemple :

OG=xOH+yOJ ( x et y sont 2 réels qui n'ont rien à voir avec des coordonnées : tu peux mettre "m" et "n" à la place) ce qui avec leurs coordonnées donnerait :

-1/4=x(-1/4)+y(-1/4)-->pour les "x (1)

1/4=x(-1/4)+y(1/4)-->pour les "y" (2)

1/4=x(1/4)+y(-1/4)-->pour les "z" (3)

(1) + (2) donne: 0=(1/2)x soit x=0 qui donne y=1 en reportant x=0 dans (1) ou (2).

reportons x=0 et y=1 dans (3) :

1/4=0-1/4 qui n'est donc pas vérifié (car 1/4 diff de -1/4)  : les 3 vecteurs ne sont pas coplanaires.

Bon courage!!