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Niveau troisième
probleme sur les vecteurs et les repères ...
Posté par foofiiie (invité)
voila mon prbleme, je n\'arrive pas a faire cet exo pouvais
vous m\'aider ?
Le plan est muni d\'un repere orthonormé(O,I,J). on prendra sur
chaque axe 4cm pour unité graphique.
1.a. Constuire le carré OABC tel que I soit le millieu de [OA] et J le
milieu de [OC].
b.Par lecture graphique, donner les coordonées des pts A,B,C et K milieu
de [AB]
2. Les droites (OK) et (CI) se coupent en L
a. Donner les coefficients directeurs des droites (OK) et (CI) (on pourra
utiliser une méthode graphique)
b. De quelles fonctions affines les droites (OK) et (CI) sont elles
la representation ?
c. Montrer que L a pour coordonnées (4/5;2/5)
d. Démontere que le triangle COL est rectangle.
e. Que peut on en déduire pour (OK) et (CI) ?
3.a. Calculer la tangente de l\'angle KÔA.
b.En exprimant tan KÔA d\'une manière, montrerque OL=2 LI.
4. CEtte question est indépendantes des questions 5 et 6.
dans le triangle OIL, on pose IL= x
a. Calculer la valeur exacte de x
b. Montrer que l\'aire du triangle OIL est 1/20 de l\'aire
du carré
5. On trace le cercle circonscrit (C) au triangle CKB.
Montrer que les pts J et L appartiennent a ce cercle.
Quelles sont les coordonnées du centre de ce cercle ?
6. La droite (OK) coupe (AC) en G.
Montrer que le point G est le centre de gravité du triangle OAB.
Voila c fini ...
Gspr que vous pouré m\'aider et je vous remercie d\'avance
Posté par sab (invité)re : probleme sur les vecteurs et les repères ...
1.b.
A(2 ; 0) B(2 ; 2) C(0 ; 2) K(2 ; 1)
2.a.
tu prend n'importe quel point de la droite (OK) par exemple O d'anvance
horizontalement d'une unité cad 4 cm et tu regarde de combien
tu dois monter ou descendre pour rencntrer le droite. si tu montes
le coef direc est positif sinon il est negatif
le coeff directeur de (OK) = 1/2 =0,5
le coeff directeur de (CI) = -2
2.b.
l'équation de la droite (OK) est donnée par:
y = coeff direct * x + l'ordonnée à l'origine
y = 0,5 * x + 0 cad y = 0,5x
de meme l'equation de la droite (CI) : y = -2x + 2
2.c.
L est le pt d'intersection des droite (OK) et (CI), notons L(x,y)
et x et y sont solutions des équations y=0,5x et y=-2x+2.
0,5x = -2x+2
0,5x + 2x = 2
2,5x = 2
x = 2/2,5 = 4/5
et y = 0,5 * x = 0,5 * 2/2,5 = 1/2,5 = 2/5
Ainsi L(4/5 ; 2/5)
2.d.
CO^2 = 4
OL^2 = 20/25 = 4/5
CL^2 = 80/25 = 16/5
OL^2 + CL^2 =4/5 + 16/5 = 20/5 = 4 = CO^2
Donc d'apres la reciproque du thm de Pythagore le triangle COL est
rentangle en L.
2.e.
Les droites (OK) et (CI) sont donc perpendiculaires.
3.a.
Dans le triangle KOA rectangle en A on a Tan KÔA = KA/OA
Tan KÔA = 1/2.
3.b.
Le triangle OIL est rectangle en L on a Tan LÔI = LI/LO.
Or KÔA = LÔiI dc Tan KÔA = Tan LÔI et donc
LI/LO = 1/2 soit LO = 2LI.
4.a.
x = LI et LO = 2LI donc x = LO/2
LO^2 = 4/5 question 2.d. donc Lo =2/V5 et x = 1/ V5
4.b.
Aire du carre = 2 *2 = 4
Aire de OIL = ( LO * LI ) / 2 = 2/V5 * 1/V5 /2 =(2/5)/2=2/5 * 1/2 =1/5
Aire de OIL = 1/5 = 4 * 1/20 = 1/20 * Aire du carre.
5.
Les triangles CKB, CJK et CLK sont tous les trois rectangles et ont le
cote [CK] en commun donc les points B, J et L appartiennent au cercle
de diametre [CH]. ( un triangle rectangle est inscrit dans un cercle
de diametre l'hypotenuse).
Le centre de ce cercle est le milieu de [CK]. Appelons M ce point et
M(1 ; 1,5)
6.
K est le milieu de [AB] donc (OK) est une médiane du triangle OAB.
[AC] et [OB] sont les diagonales du carré donc elles se coupent en leur
milieu, ainsi la droite (AC) passe par le milieu de [OB] donc (AC)
est une médianes du triangle OAB.
Or les medianes d'un triangles sont concourantes et leur point
d' intersection s'appelle le centre de gravite.
Donc G est le centre de gravite du triangle OAB.
Et voila et bonne lecture.