en effet, et les règles de Bioche ne doivent rien te dire, si ?

euh nan en tout cas je ne les connais pas sous ce nom...mais on peut pas intégrer avec la calculatrice?

euh...je ne pense pas

x'(a) = L( sina - 1/sina )

la variable est a, et ce qui pose problème c'est la primitive de 1/sina

Bioche dit que si on a :

f(x)dx qui reste inchangé en remplaçant x par -x, on peut faire le changement u = cos(x)

est-ce que je vais plus loin ?

tu t'es déconnecté, je pense

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j'en profite pour corriger une coquille de signe dans mon post du 28/05/2008 à 22:35

la tangente a pour coefficient directeur tan(a) et non -tan(a) ( c'est ce qui me faisait tiquer à 12:03 )

on a donc : x'(a) = L( 1/sin(a) - sin(a) )

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je continue en essayant de détailler pour ton niveau de terminale ( bien que ce soit du post-bac, c'est néanmoins accessible aux Tles ) :

on y va : on doit intégrer 1/sina ; écrivons-le avec la variable x, tu seras moins désorienté :

Somme( dx/sin(x) )

on pose u = cos(x) donc du = -sin(x).dx

je divise tout par sin²(x)

du/sin²(x) = -dx/sin(x)

et comme sin²(x) = 1 - cos²(x), on déduit dx/sin(x) :

dx/sin(x) = -du/( 1-cos²(x) ) = du/( u² - 1 ) = du( 1/(u-1) - 1/(u+1) )/2 = (1/2)( du/(u-1) - du/(u+1) )

dont une primitive (on rajoutera la constante à la fin) est (1/2)( ln|u-1| - ln|u+1| ) = (1/2)ln| (u-1)/(u+1) |

soit (1/2)ln| (cos(x)-1)/(cos(x)+1) | (1)

comme cette formule est "lourde" et pas "belle", je te propose de faire intervenir l'angle moitié en se servant des formules de transformations "connues" :

en appelant t = tan(x/2), on sait que cos(x) = (1-t²)/(1+t²) que l'on remplace dans (1) :

F(x) = (1/2)ln| (cos(x)-1)/(cos(x)+1) | = (1/2)ln| ((1-t²)/(1+t²)-1)/((1-t²)/(1+t²)+1) | = (1/2)ln| (-2t²)/2 | = ln|t|

ainsi :

Somme( dx/sin(x) ) = ln| tan(x/2) | + K

en revenant à x'(a) :  x'(a) = L( 1/sina - sina ) fournit :

x(a) = L( ln| tan(a/2) | + cos(a) )  

on a finalement la courbe paramétrée, que l'on peut exprimer en coordonnées réduite en divisant par L :

x(a)/L = ln| tan(a/2) | + cos(a)
y(a)/L = sin(a)

qui se représente ainsi, en faisant varier a de pi/2 à pi :



il y aurait encore possibilité de faire intervenir des fonctions hyperboliques pour alléger ces formulations
...mais je t'en fais grâce

En espérant avoir été suffisamment clair

j'ai oublié de préciser que les constantes d'intégrations que je n'ai pas remontées dans mes formules x(a) et y(a) sont déterminées par les conditions initiales

Comme pour a = pi/2,  x(a) = 0 et y(a) = L, les constantes d'intégration permettant de passer de x'(a) et y'(a) à x(a) et y(a) sont nulles

merci beaucoup.... avec ma calculatrice , si j'intègre x'(a) = L( 1/sin(a) - sin(a) )
j'obtiens ceci:

ln(|sin(a)|/|cos(a)+1|)+cos(a)

comme sin(a)/(cos(a)+1) = tan(a/2), c'est égal à:

ln(|tan(a/2)|+cos(a)) et c'est ce que tu trouves, donc je n'ai pas besoin de passer par les etapes intermédiaires, je calcule directement avec la calculatrice

bien sûr, si t'utilises des moyens d'intégration, c'est bien entendu plus simple

mais c'est peut-être pas ce qu'attend ton prof de toi...

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Dans ce cas, allons plus loin :

tu peux aussi dire directement que la tractrice est une développante de chaînette,

que tu connais la chaînette : y = L.ch(x/L)

et que tu utilises un logiciel ( avec ta calculette, par exemple ) qui te donne directement les développantes...

c'est encore plus simple

ouais ok mais juste pourquoi la tangente a pour coefficient directeur tan(a) et non -tan(a)? parce que moi je trouve Lsin(a)/-Lcos(a) donc -tan(a):Car cos(180-a)=-cos(a)

??