bonjour

1)
tu appelles I mileur de [AB] et J celui de [CD]
alors MA+MB=2MI et MC+MD=2MJ    ; en vecteurs

MA+MB colinéaire avec MC+MD ssi 2MI coliléaire avec 2MJ
                            ssi MI colinéaire avec MJ
                            ssi M appartient à la droite (IJ)

2) MC-MD=DC
donc
MA+MB colinéaire avec MC-MD ssi 2MI colinéaire avec DC
                            ssi M appartient à la droit qui passe par et parallèle à (DC)
3)MA+MC=2MI et MC+MD=2MJ
MA+MC perpendiculaire à MC+MD ssi MI perpendiclaire à MJ
                               ssi M appartient au cercle de diamètre [IJ] privé de I et de J

4)||MA+MB||=||MC+MD|| ssi ||2MI||=||2MJ||
                      ssi ||MI||=||MJ||
                      ssi M appartient à la médiatrice du segment [IJ]

5)||MA+MB||=||MC-MD|| ssi ||2MI||=||DC||
                      ssi ||MI||=(1/2)||DC||
                      ssi M appartient au cercle de centre I et de rayon ||DC||/2

Bonsoir

pour la 1ère question, appelle I et J les milieux de [AB] et [CD]
pense à la méthode d'additon de 2 vecteurs par la méthode du parallélogramme.
Et tu trouveras certainement sans difficultés le lieu

pour la second question, pareil pour MA+MB  (en vecteurs)
et pense que (vecteurs)
MC-MD=DM+MC=DC

pour le 3) regarde voir les propriétés d'un point M situé sur le cercle de diamètre [IJ]

tu devrai pouvoir trouver seul la solution du 4)  (MI=MJ)

et en te servant de MC-MD=DC, tu devrais t'en tirer

Bonjour à tous

ABC est un triangle , a' est le symétrique de C par rapport à B et B' est le milieu de [AC]. Soit C'le point tel que (vecteur)BC'=1/3(vecteur)BA

1) a) montrer les égalités suivantes : (vecteur)A'C'=(vecteur)BC+1/3(vecteur)BA et (vecteur)A'B'=3/2(vecteur)BC+1/2(vecteur)BA

b) En déduire que A' , B' et C' sont alignés

MERCI