Bonjour,

On peut répondre quand on a appris la leçon sur les suites arithmétiques et géométriques en 1ère S (et peut-être en 1ère ou terminale ES) mais pas en seconde...

D'ailleurs le sujet est assez mal posé la première question devrait être

1)
Exprimer An+1 en fonction de An . Démontrer que An est une suite géométrique ; en déduire An en fonction de n
Exprimer Bn+1 en fonction de Bn . Démontrer que Bn est une suite arithmétique ; en déduire Bn en fonction de n
En déduire Pn en fonction de n

j'ai oublié d'actualisé mon profil je suis maintenant en 1ère

bonjour,

quest1:

A_n+1=1.04A_n     //on ajoute 4% à la population d'avant
B_n+1=B_n-250000  //on retire 250000 à la pop d'avant
P_n+1=A_n+1+B_n+1=1.04A_n+B_n-250000

en fonction de n:

A_n=(1.04)ⁿA₀

Il suffit de voir qu'à chaque année tu multiplies la pop de l'année précédente par 1.04. Donc au bout de n années, tu la multiplies par 1.04*1.04*...1.04 soit 1.04ⁿ

B_n=B₀-(250000*n)
Chaque année, la population décroît de 250000 habitants donc au bout de n années, elle décroît de 250000+250000+...+250000, soit 250000*n

P_n=(1.04)ⁿ*A₀+B₀-(250000*n)

(Tu peux remplacer A0 et B0 par leur valeur)


quest 2:

il suffit de calculer

bonne chance pour la suite....

Donc essaye de regarder quelle serait la population de A au bout d'un an .... Elle augmente de 4% en partant de 5 millions
et pour la région B elle part de 10 millions et diminue de 250 000 habitant par an...

Essaye donc de répondre aux questions que j'ai posées plutôt que de trouver directement An en fonction de n

Je bloque à la question 3 ...

3- Donner à l'aide de la calculatrice les variations de la fonction f définie sur [0;20] par : f(x)=5(1.04^x+2)-x/4
Que peut-on déduire pour la population P ?

svp pouvez vous m'aider ...

oui , alors je pense qu'on peut déduire que la population est faible sur l'intervalle [o; 6]

J'ai pas très bien compris

personne ne peut m'aider ?

P0 = 15
P1 = -295 000
P2 = -500 000
P3 = -750 000
P4 = -1 000 000
Le sens de variation est négatif

Est ce que ça correspond à ça pour le numéro 2 ?!

Fais aussi P20 car x est défini jusqu'à 20. Pendant ce temps là, je refais l'exo (désolée je ne peux pas comprendre si je ne refais pas) et je continue.

Un pays P est composé de deux régions autonomes A et B.

Dans la région A la population s'accroît de 4% chaque année.

Dans la région B la population diminue de 250 000 habitants par an.

On note An, Bn, et Pn les populations respectives de A, B, P en millions d'habitants en l'an 2000 + n (n < ou = 20)

Les données initiales (en l'an 2000) sont : A0=5 et B0=10

1- Exprimer An, Bn puis Pn en fonction de n (n< ou = 20)
A0= 5 soit 5 milions

A1= A0+0.4A0=1.04A0=1.04*5 la poplution augmente de 4%
A2= 1.4A1=1.4²A0
A3= 1.4A2=1.4^3A0
A1   A2  A3
---= ---=----= 1.04= une constante q
A0   A1  An
An suite géométrique de raison q=1.04 et de premier terme
A0=5
An=A0*1.04^n=5*1.04^n

B0= 10 soit 10 millions
B1==B0-0.25= 10-0.25==9.75
la population diminue chauqe année de 250 000 soit 0.25 millions  
B2= B1-0.25=B0-0.025-0.25=B0-2*0.25=10-0.5=9.5
B3= B2-0.25=B0-2*0.25-0.25= B0-3.0.25=B0-0.75=9.25
B1-B0=B2-B1=B3-B2= - 0.25 constante r
donc Bn suite arithmétique de raison r=-0.25
et de premier terme B0=10
Bn=A0+r*n=10-0.25n

Pn=An+Bn = 5*1.04^n+10-0.25n

2- Calculer P0; P1; P2; P3 et P4 (arrondir à 1000 habitants près)
P0=5*1.04^0 + 10-0.25*0=1+10=11
11 milions
P1= 5*1.04^1+10-0.25=5.2+0.75=5.95
5 950 000
P2= 5*1.04²+10-2*0.25=5.408+10-0.5=5.408+9.5=14.908
14 908 000

P3=5*1.04^3+10-3*0.25= 5,62432+10-0.75=5.62432+9.25=   14,87432
14 874 320 ou arrondi 14 875 000
P3 arrondi=14.875
P4=5*1.04^4+10-4*0.25= 5,8492928+10-1= 5,8492928+9=
14.8992928  
14 899 292.8 ou arrondi 14 900 000
P4 arrondi=14.900

Quel semble être le sens de variation de la suite (Pn) ?
variation alternée
décroit de P0 en P1
augmente de P1 à P2
baisse un peu de P2 à P3 quasi stationnaire
augmente un peu de P3 à P4 quasi stationnaire

merci de refaire les calculs

2/
P1= 5*1.04^1+10-0.25=5.2+9.75=14,95
14 950 000

Quel semble être le sens de variation de la suite (Pn) ?
variation alternée
augmente brusquement de P0 en P1
baisse de P1 à P3
augmente un peu de P3 à P4 quasi stationnaire

3)
Donner à l'aide de la calculatrice les variations de la fonction f définie sur [0;20] par : f(x)=5(1.04^x+2)-x/4
f(0)= 5(1.04^0+2)-0= 5*2=10
f(1)= 5(1.04^1+2)-1/4= 5*3.04 -0.25=15.2-0.25=14.95
f(2)=
f(3)
f(4)
f(5)
f(6)
f(7)
f(8)
f(9)
f(10)
etc
etc jusqu'à
f(20)

calculs à faire. comemntaires sur évolution à faire

4/
a) En combien d'année la population de A aura-t-elle augmenté d'au moins 50% ?
An=1.5A0    augmentation de 50% de la population

5*1.04^n=1.5*5
1.04^n=1.5
ln (1.04^n)= ln1.5
n ln1.04=ln 1.5
n= ln1.5/ln 1.04

Quelle sera alors à 1000 habitants près la population de P ?
Prendre le n calculé, et calculez Bn
et ensuite Pn=An+Bn

b) En combien d'année la population de B aura-t-elle augmenté d'au moins 50% ?
Bn=2*B0
10-0.25n= 20
-0.25n=10
n=10/0.25
n=40   40 ans

A40= 5*1.04^40
= 5*4,801020628
24,00510314
24 000 510  
A40 arrondi= 24,01

P40=A40+B40= 24.01+20=44.01