Inscription / Connexion Nouveau Sujet
problemes sur les suites
bonjour j'ai un petit probleme sur les suites
pouvez vous m'aidez
exercice 1
on définit une suite (Un) par:
U0=1
Un+1=1/2Un+2n-1
1) Calculer u1 u2 u3. la suite est elle croissante ou décroissante
2) on pose Vn=Un-4n+10. calculer v0 v1 v2 v3.
3) montrer que la suite (Vn) est geometrique en preciser la raison
4) en deduire l'expression de Vn en fonction de n
5) en deduire l'expression de Un en fonction de n
6) on pose Sn=u0+u1+u2+...+un. donner l'expression de Sn en fonction de n
Je vous remercie d'avance
amicalement
drogba57
U(n+1)=1/2Un+2n-1
Excuse moi davidk c vrai que c'est pas la meme chose sans les parenthèses
non mais les parenthèses on les veut surtout dans le deuxième membre de l'équation, Un est-il au dénominateur? et 2n?....
dans ce cas:
1.
u1 = u0/2+2*0-1 = -1/2
u2 = u1/2 + 2*1 -1 = -1/4 +1 = 3/4
u3 = u2/2 + 2*2 - 1 = 3/8 +3 = 27/8
sens de variations de un:
Montrons par récurrence sur l'entier n
1 que la suite Un est croissante.
- u2 > u1 et u3 > u2 donc la récurrence est amorcée.
- supposons que la proposition soit vraie au rang n, cad que ou encore:
alors:
en développant tu trouves:
Or, d'après l'hypothèse de récurrence donc
La récurrence est donc héréditaire.
On en déduit que la proposition est vérifiée pour tout entier n1.
Donc Un est croissante à partir de n=1.
2. soit
je te laisse calculer v1,v2 et v3
3.
on remarque alors que:
Donc est une suite géométrique de premier terme
et de raison 1/2.
4. on en déduit
ou encore:
5) donc
ainsi, pour tout n:
6) Sn=u0+u1+u2+...+un.
on peu écrire S_n en rassemblant les termes comme suit:
la première parenthèse est la somme d'une suite géométrique de premier terme 11 et de raison 1/2, on en déduit:
La deuxième parenthèses = 4(0+1+2+3+...+n)
or
d'ou: 4(0+1+2+3+...+n)=2n(n+1)
La dernière parenthèse est une somme de (n+1) termes tous égaux à 10, donc vaut: 10(n+1).
ON en déduit:
Sauf erreur de ma part...
Annuler
connectez vous