Bonsoir,

Peut-être que

Bonjour,

Une idée (je ne sais pas si elle aboutit) :

1. Une telle décomposition de 22 ne contient pas de terme égal à 1 (assez simple à prouver, sauf erreur de ma part bien sûr)
2. Considérons les nombre et où a,b,c,d,e,f,g et h sont des entiers naturels.
   Et là, disjonction de cas pour étudier les différentes valeurs de P ...
   La contrainte S=22 permet de réduire l'étude (il me semble qu'on élimine ainsi pas mal de candidats pour P, je te conseille de faire par ordre décroissant des facteurs)

salut

avec un petit programme ca se fai tres bien , sur excel :
Sub boucle()
i = 1
Do
p = 1

x = (22 - 22 Mod i) / i
r = 22 Mod i
For j = 1 To i
  s = s + x
  p = p * x
Next
w = w & " " & s + r
z = z & " " & p * r
i = i + 1
Loop Until 22 Mod i = 22
MsgBox w
MsgBox z
End Sub

retourne les sommes : 22  44  66 87 107 127 145 166 182 200 220 242 254 267 281 296 312 329 347 366 386 407
et les produits :
0  0   343   1250  2048 2916  2187  1536 2048  0   10  8  7  6  5  4  3  2   1   0

bonjour,

lemme: Si n est pair , n>4 et si avec a>b , n=a+b=c+c alors ab<c²
intuitivement, Il me semble que 3 est le seul entier qui soit supérieur à tout produit de sa décomposition en somme
ainsi  comme la division euclidienne de n par 3 donne comme reste 0,1 ou 2
n=3q+r le produit maximum me semble être :
si r=0
car 4>3x1

si r=2 car 3x2>5

  Salut à tous,
  
   En suivant tous vos conseils j'ai émis quelque raisonnement , mais je ne sais pas si ça tient la route , donc voilà :
  
    - Si l'écriture de 22 en somme contient un terme 1, il vaudra mieux le regrouper avec un autre terme n,  car dans tous les cas 1 × n < n + 1. - Si l'écriture de 22 en somme contient trois termes 2, il vaudra mieux les écrire 2 + 2 + 2 = 3 + 3, car 2 × 2 × 2 < 3 × 3. - Si l'écriture de 22 en somme contient un terme 4, il vaudra mieux l'écrire 2 + 2, car bien que 2 × 2 = 4,  il sera préférable de faire apparaître des termes 2 pour les regrouper éventuellement avec un autre terme 2 et remplacer le tout par 3 + 3 , mais pas 4 = 3 + 1 puisque 3 × 1 < 2 × 2. - Si l'écriture de 22 en somme contient un terme n supérieur à 4, il vaudra mieux le remplacer  par 3 + (n - 3) car 3(n-3) > n dès que n > 4,5. Il résulte  que la meilleure décomposition de 22 est 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 = 22 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 4 = 2 916

salut