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Produit de terme

Posté par
Minet
25-07-18 à 02:28

  
  Salut à tous , s'il svp je suis tombé sur cet exercice et j'ai besoin d'aide . Merci d'avance :

  Le nombre 22 se décompose de plusieurs façons en somme d'entiers naturels. Pour chaque somme on calcule le produit des termes. Exemples : 22=7+1+2+12 donne 7×1×2×12=168 ;  22=6+6+10 donne 6×6×10=360.
Trouver une décomposition dont le produit des termes est maximal.

Posté par
Razes
re : Produit de terme 25-07-18 à 03:20

Bonsoir,

Peut-être que 3*3*3*3*3*3*4=2916

Posté par
mrK
re : Produit de terme 25-07-18 à 04:43

Bonjour,

Une idée (je ne sais pas si elle aboutit) :

1. Une telle décomposition de 22 ne contient pas de terme égal à 1 (assez simple à prouver, sauf erreur de ma part bien sûr)
2. Considérons les nombre S=2^a+3^b+5^c+7^d+11^e+13^f+17^g+19^h et P=2^a\times3^b\times5^c\times7^d\times11^e\times13^f\times17^g\times19^h où a,b,c,d,e,f,g et h sont des entiers naturels.
   Et là, disjonction de cas pour étudier les différentes valeurs de P ...
   La contrainte S=22 permet de réduire l'étude (il me semble qu'on élimine ainsi pas mal de candidats pour P, je te conseille de faire par ordre décroissant des facteurs)

Posté par
flight
re : Produit de terme 25-07-18 à 08:26

salut

avec un petit programme ca se fai tres bien , sur excel :
Sub boucle()
i = 1
Do
p = 1

x = (22 - 22 Mod i) / i
r = 22 Mod i
For j = 1 To i
  s = s + x
  p = p * x
Next
w = w & " " & s + r
z = z & " " & p * r
i = i + 1
Loop Until 22 Mod i = 22
MsgBox w
MsgBox z
End Sub

retourne les sommes : 22  44  66 87 107 127 145 166 182 200 220 242 254 267 281 296 312 329 347 366 386 407
et les produits :
0  0   343   1250  2048 2916  2187  1536 2048  0   10  8  7  6  5  4  3  2   1   0

Posté par
DOMOREA
Produit de terme 25-07-18 à 09:11

bonjour,

lemme: Si n est pair , n>4 et si avec a>b , n=a+b=c+c alors ab<c²
intuitivement, Il me semble que 3 est le seul entier qui soit supérieur à tout produit de sa décomposition en somme
ainsi  comme la division euclidienne de n par 3 donne comme reste 0,1 ou 2
n=3q+r le produit maximum me semble être :
3^q si r=0
3^{q-1} \times 4 si r=1 car 4>3x1

3^q\times 2 si r=2 car 3x2>5

Posté par
Minet
re : Produit de terme 25-07-18 à 10:01

  Salut à tous,
  
   En suivant tous vos conseils j'ai émis quelque raisonnement , mais je ne sais pas si ça tient la route , donc voilà :
  
    - Si l'écriture de 22 en somme contient un terme 1, il vaudra mieux le regrouper avec un autre terme n,  car dans tous les cas 1 × n < n + 1. - Si l'écriture de 22 en somme contient trois termes 2, il vaudra mieux les écrire 2 + 2 + 2 = 3 + 3, car 2 × 2 × 2 < 3 × 3. - Si l'écriture de 22 en somme contient un terme 4, il vaudra mieux l'écrire 2 + 2, car bien que 2 × 2 = 4,  il sera préférable de faire apparaître des termes 2 pour les regrouper éventuellement avec un autre terme 2 et remplacer le tout par 3 + 3 , mais pas 4 = 3 + 1 puisque 3 × 1 < 2 × 2. - Si l'écriture de 22 en somme contient un terme n supérieur à 4, il vaudra mieux le remplacer  par 3 + (n - 3) car 3(n-3) > n dès que n > 4,5. Il résulte  que la meilleure décomposition de 22 est 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 = 22 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 4 = 2 916

Posté par
carpediem
re : Produit de terme 26-07-18 à 20:23

salut

flight @ 25-07-2018 à 08:26

salut

avec un petit programme ca se fai tres bien , sur excel :
Sub boucle()
i = 1
Do
p = 1

x = (22 - 22 Mod i) / i
r = 22 Mod i
For j = 1 To i
  s = s + x
  p = p * x
Next
w = w & " " & s + r
z = z & " " & p * r
i = i + 1
Loop Until 22 Mod i = 22
MsgBox w
MsgBox z
End Sub

retourne les sommes : 22  44  66 87 107 127 145 166 182 200 220 242 254 267 281 296 312 329 347 366 386 407
et les produits :
0  0   343   1250  2048 2916  2187  1536 2048  0   10  8  7  6  5  4  3  2   1   0
tout le monde ne connait pas cette langue ...

et un algorithme ?

merci par avance ?



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