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Produit scalaire

Posté par
Anan 28-05-09 à 18:04

Bonjouor !
Pouvez-vous s'il vous plait, regarder mon exercice et corriger m'expliquer mes erreurs.

Soit ABC un triangle équilatéral de côté a, I milieu de [BC] et D le symétrique de A par rapport à (BC).

Faire une figure au fur et à mesure de l'exercice. (C'est bon je l'ai faite)

a)Quelle est la nature de ABDC ?
Comme ABC est équilatéral la médiane est un axe de symétrie donc on aura I milieu de [BC] et [AD] Donc ABDC est un parallélogramme
De plus AB=AC=a
Donc ABDC est un losange

b)Calculer le produit scalaire AB.AC en fonction de a :
Je ne développe pas le calcul mais ça fait a²/2

c) Quel est l'ensemble des points M tels que produit scalaire de MB.MC=a²/2 ?
J'ai envie de répondre M=A d'après la questiion b

Est-ce juste ?

d)Montrer que pour tout point M du plan, produit scalaire MB.MC= MA²+MA.AD+a²/2.
En utilisant Chasles je retombe parfaitement sur l'égalité demandée.

e) En déduire l'ensemble des points du plan tels que MB.MC=MA²?

Il faut que MA²+MA.AD=0 MA.(MA+AD)=0MA.MD =0 Autrement dit MA et MD sont orthogonaux .
Mais M représente quoi ?

Merci pour vos explicatiions

Anan

Posté par
thiblepriRe 28-05-09 à 18:23

Bonjour,
Pour la question c):
Tu fais Chasles avec le point I sur les vecteurs MB et MC... Et tu me dis ce que tu trouves

Pour la e):
Es-tu sûr du sujet? Parce que ta réponse est fausse si oui.

Posté par
Labore : Produit scalaire 28-05-09 à 18:24

Bonjour,

Citation :
c) Quel est l'ensemble des points M tels que produit scalaire de MB.MC=a²/2 ?
J'ai envie de répondre M=A d'après la question b

A est un point de cet ensemble...
il y a  d'autres points... D par exemple...
\vec{MB}.\vec{MC}=(\vec{MI}+\vec{IB}).(\vec{MI}+\vec{IC}) \\ tu continues...

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 28-05-09 à 18:25

Re,

c) \vec{MB}.\vec{MC}=(\vec{MI}+\vec{IB).(\vec{MI}.\vec{IC})

\vec{MB}.\vec{MC}=MI^2+2\vec{MI}(\vec{IB}+\vec{IC})+\vec{IB}.\vec{IC}

\vec{MB}.\vec{MC}=MI^2-\frac{BC^2}{4}=MI^2-\frac{a^2}{4}

Donc ta relation est équivalente à

IM^2=\frac{3a^2}{4}

soit IM=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Il s' agit du cercle de centre I passant par A

Je repasserai pour la suite plus tard...

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 28-05-09 à 18:26

Oh! bonjour Labo

Posté par
Labore : Produit scalaire 28-05-09 à 18:26

bonjour à tous

Posté par
Ananre : Produit scalaire 28-05-09 à 21:00

Il n'y opas d'erreur de frappe pour la e

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 28-05-09 à 22:24

Citation :
Il faut que MA²+MA.AD=0


Non: \vec{MB}.\vec{MC}=MA^2\Longleftrightarrow \vec{MA}.\vec{AD}+\frac{a^2}{2}=0

Autrement dit \vec{AM}.\vec{AD}=\frac{a^2}{2}

Posté par
Ananre : Produit scalaire 28-05-09 à 22:30

M esst représenté par quel ensemble ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 28-05-09 à 22:47

Ca doit être dans ton cours:

L' ensemble des points M tels que \vec{AM}.\vec{u}=k où \vec{u} et k sont donnés est une droite perpendiculaire à la droite définie par (A,\vec{u})

Ici, l' ensemble cherché est la droite perpendiculaire à (AD) passant par H où H est le point du segment [AD] tel que:

AH.AD=\frac{a^2}{2}

ou encore AH=\frac{a\sqrt{3}}{6}

Posté par
Ananre : Produit scalaire 29-05-09 à 14:50

g)On appelle G le barycentre de (A,2)(B,1)(C,1).
Montrer que G est le milieu de [AI].

G est le barycentre de (A,2)(I,2) Donc G est le milieu de [AI]

h) On définit, pour tout point M du plan, f(M)=MA²+MB.MC
Montrer que f(M)=f(G)+2MG²

f(M)=MA²+MB.MC
f(M)= (MG+GA).(MG+GA) +(MG+GB).(MG+GC)
f(M) = MG² +2GA.MG + GA²+MG²+MG.GC+MG.GB+GB.GC
f(M) = 2MG²+GA²+GB.GC+MG.(2GA+GB+GC)

Or G est le barycentre de (A,2)(B,1)(C,1) Donc 2GA+GB+GC=0
Donc :
f(M) = 2MG²+GA²+GB.GC
f(M)= 2MG²+f(G) (cqfd)

On me demande ensuite de calculer f(A)
f(A)=AB.AC=a²/2
On me demande d'en déduire f(G)
Comme f(A)=f(G)+2AG²=a²/2 on aura f(G)=a²/2-2AG²

On me demande la nature des lignes de niveau de f ?
C'est quoi les lignes de niveau ? Comment faire pour déterminer leur nature ?  

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 29-05-09 à 21:04

Re,

C' est tout bon

Citation :
on aura f(G)=a²/2-2AG²


Oui, mais il faut terminer le calcul:

AG=\frac{a\sqrt{3}}{4} donc AG^2=\frac{3a^2}{16}

et f(G)\frac{a^2}{2}-\frac{3a^2}{8}=\frac{a^2}{8}

Du coup f(M)=2MG^2+\frac{a^2}{8}

Citation :
C'est quoi les lignes de niveau ? Comment faire pour déterminer leur nature ?


On te demande de déterminer l' ensemble des points M tels que:

f(M)=k où k est réel donné.

Soit GM^2=\frac{k}{2}-\frac{a^2}{16}

Il faut discuter suivant les valeurs de k:

Si k>\frac{a^2}{8}, on a un cercle de centre G et de rayon \sqrt{\frac{k}{2}-\frac{a^2}{8}}

Si k=\frac{a^2}{8}, on a GM=0 et l' ensemble se réduit au point G

Si k<\frac{a^2}{8}, l' ensemble cherché est vide (pas de solution)


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