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produit scalaire

Posté par cecilia13 (invité) 14-02-05 à 12:21

ABCDEFGH est un cube de centre O et d'arête a. L'angle AOC = α


Exprimer les longueur AC, AO et Oc en fonction de a. Montrer que l'angle α est indépendant de a


produit scalaire

Posté par
dad97 Correcteur
re : produit scalaire 14-02-05 à 13:38

Bonjour cecilia13,

Pour le calcul de AC :

On se place dans le carré ABCD, un petit coup de Pythagore dans le triangle ABC

et on trouve 5$AC=a\sqrt{2}


Pour le calcul de A0 :

Propriété à utiliser : O est le milieu des diagonales du cube donc AO=\frac{1}{2}AG

Un petit coup de Pythagore dans le triangle ACG pour calculer AG et on en déduit AO.

et on trouve 5$AO=\frac{\sqrt{3}}{2}a

Pour le calcul de A0 :

Utilisation du caractère isométrique de la symétrie par rapport au plan contenant H, B, F et D.
Par cette symétrie OA est transformé en OC donc OC=OA

donc 5$OC=\frac{\sqrt{3}}{2}a

pour l'indépendance de l'angle par rapport à a :

On vient de montrer que le triangle OAC est isocèle en 0

et donc comme la somme des angles dans un triangle vaut 3$\pi on a donc :

4$\alpha=\pi-2\hat{OAC} (*)

Mais dans le triangle ACG on a
tan(\hat{OAC})=\frac{GC}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

donc la tangente de l'angle \hat{OAC} ne dépend pas de a donc l'angle \hat{OAC} non plus et en utilisant (*) on en déduit que 3$\alpha est indépendant de a.


Salut



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