Bonjour,

pour montrer que CM et BN sont ppd , il suffit de montrer que :

scalaire CM.BN=0

Je parle en vecteurs :

CM.BN=(CA+AM)(BA+AN)-->tu développes comme une expression algébrique.

.....=CA.BA+CA.AN+AM.BA+AM.AN

Mais CA.AN=0 et AM.BA=0 car ppd.

Par ailleurs :

CA.BA=||CA||.||BA|| cos (CA,BA)

et AM.AN= ||AM||.||AN|| cos (AM,AN)

Mais en mesures : CA=AM et BA=AN

cos (CA,BA)=-cos (AM,AN)

car angle (AM,AN)=pi-angle CA,BA)

Donc CA.BA+AM.AN=0

Donc CM.BN=0 et CM ppd BN.

Je t'envoie ça déjà.

2/ Comparer les angles MAC et BAN, puis les produit scalaires AM.AC et AB.AN

Tu as montré que ^MAC=^BAN

AM.AC=||AM||.||AC|| cos MAC

AB.AN=||AB||.||AN|| cos BAN

Mais en mesure AM=AB et AC = AN et cos MAC=cos BAN

donc AM.AC=AB.AN

3/ Montrer que la médiane (AI) du triangle ABC est une hauteur du triangle AMN.

Il faut montrer que :

scalaire AI.MN=0

Par ailleur la question 2 sert à la 3 comme tjrs.

Ensuite une médiane doit tjrs te faire écrire :

(en vecteurs) : AI=(1/2)(AB+AC)

Si tu ne comprends pas ça, tu termines le parallélogramme ABA'C et tu prolonges AI qui est une demi-diago. jusqu'en A'.

Tu constates que : AA'=2AI=AB+BA'

Mais BA'=AC donc 2AI=AB+AC soit AI=(1/2)(AB+AC)

Revenons à :

AI.MN=(1/2)(AB+AC)(MA+AN)-->tu développes :

....=(1/2)(AB.MA+AB.AN+AC.MA+AC.AN)

mais AB.AN=-AC.MA d'après la 2)

et AB.MA=0 et AC.AN=0 car ppd.

Don AI.MN=0 et ils sont ppd.

Pas sûr d'avoir le tps pour dernière!!

4/ La hauteur issue de A dans le triangle ABC est-elle une médiane du triangle AMN?


Probablement : on peut renverser le pb en montrant que la médiane AJ issue de A ds tr AMN est ppd à BC en montrant que :


sclaire AJ.BC=0

Or AJ=(1/2)(AM+AN)

Donc AJ.BC=(1/2)(AM+AN)(BA+AC)

......=(1/2)(AM.BA+AM.AC+......+....)

Je te laisse finir : 2 produits sont nuls et 2 sont opposés.

Donc AJ.BC=0 et AJ ppd BC et la médiane de ...est hauteur de.....(donc l'inverse).

Salut.