Bonsoir !

L'équation d'un cercle de centre et de rayon
n'est-elle pas
     ?

Dans ton équation, on reconnaît le début de carrés, lesquels ?

a+

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Je suis nul en maths.

1)

x²+y²+2mx+2(1-m)y-4=0

(x+m)² - m² + (y+(1-m))² - (1-m)² - 4 = 0

(x+m)² + (y+(1-m))² = 4 + m² + (1-m)²

On a 4 + m² + (1-m)² > 0 et donc on a l'équation d'un cercle de centre de coordonnée (-m ; m-1) et de rayon = V[4 + m² + (1-m)²]
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2)

C0: x² + (y+1)² = 5
C1: (x+1)² + y² = 5

x² + y² + 2y = 4
x² + 2x + y² = 4

x² + y² + 2y = x² + 2x + y²
y = x
-> x² + (x+1)² = 5
x² + x - 2 = 0
(x-1)(x+2) = 0

->
A(1 ; 1)
B(-2 ; -2)
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3)
Remplaçons x et y par les coordonnées de A dans l'équation: (x+m)² + (y+(1-m))² = 4 + m² + (1-m)²

(1+m)² + (1+(1-m))² =? 4 + m² + (1-m)²
1 + 2m + m² + 1 + 2(1-m) + (1-m)² =? 4 + m² + (1-m)²
1 + 2m + 1 + 2(1-m)  =? 4  
2 + 2m + 2 - 2m =? 4
4 = 4

Et donc les coordonnées de A vérifient l'équation (x+m)² + (y+(1-m))² = 4 + m² + (1-m)² et ceci quelle que soit la valeur de x.
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Remplaçons x et y par les coordonnées de B dans l'équation: (x+m)² + (y+(1-m))² = 4 + m² + (1-m)²

(-2+m)² + (-2+(1-m))² =? 4 + m² + (1-m)²
4 - 4m + m² + 4 - 4(1-m) + (1-m)² =? 4 + m² + (1-m)²
4 - 4m + 4 - 4(1-m)  =? 4  
4 - 4m  + 4 - 4 + 4m  =? 4
4 = 4
Et donc les coordonnées de B vérifient l'équation (x+m)² + (y+(1-m))² = 4 + m² + (1-m)² et ceci quelle que soit la valeur de x.
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Et donc: tous les cercles de la famille passent par A et B.
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4)
Je ne sais pas ce que l'on entend pas cercles alignés.
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Sauf distraction.  

reBonsoir !

Des cercles alignés ? Bizarre en effet.
    Les centres sont alignés ?
    Les cercles ont une tangente commune ?
    ... ?
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Je suis nul en maths.

a oui, excusez moi, pour la 4. c'est les centres des cercles ki doivent etre alignés

Pour la 4

On a (j'ai) montré que les centres ont pour coordonnées: (-m ; m-1)

Xc = -m
Yc = m-1

-> Yc = -Xc + 1

les centres des cercles sont donc alignés sur la droite d'équation y = -x + 1
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Sauf distracction.