Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

Produit scalaire

Posté par
Laura29
25-02-16 à 11:26

Bonjour ; j'ai fait un exercice mais . j'aurais besoin d'aide ! Voici l'énoncé : dessiner un triangle ABC tel que : AB=3, AC=5, et BC=6
Exprimer de deux façons différentes le produit scalaire AB.AC. En déduire cos BAC , puis calculer à un degres  pres une mesure de BAC.

Pour le produit scalaire je trouve AB*AC' =9
Mais je ne trouve pas la seconde méthode. Pour cos BAC je trouve 9/(AB*AC) soit 9/(3*5)

Donc l angles bac vaut 0,6 degré ..

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 25-02-16 à 11:36

Comment as-tu calculé le produit scalaire AB.AC ?

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 11:40

J ai fait AB.AC= AB*AC'=3^2 =9

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 11:46

Est ce juste ???

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 25-02-16 à 11:47

Ton calcul est faux. Voici ce que tu aurais dû écrire :  AB.AC = AB*AC cos(AB,AC).

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 11:50

Donc le calcul est 3*5*cos(95) ? Soit -1,3 ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 25-02-16 à 11:52

D'où sort ce 95 ?

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 11:54

J ai trace la figure et j ai regarder ce que faisait cos (AB.AC)

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 25-02-16 à 11:56

Non, il faut déterminer la valeur de ce cosinus par le calcul. Comment vas-tu faire ?

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 11:58

Je ne vois pas du tout la méthode à adopter pour calculer le cosinus ....

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 25-02-16 à 12:05

Utilise la formule d'Al-Kashi.

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 12:06

Je suis désolée mais je n'ai jamais appris cette formule ...

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 25-02-16 à 12:15

Qu'as-tu appris pour calculer un produit scalaire ? L'énoncé demande de calculer celui-ci de deux façons différentes . . . .

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 12:23

J ai appris la méthode du projeté orthogonal ( avec 3 points À , B , C et C' le projeté orthogonal )
J ai appris avec Cos puis l expression du produit scalaire dans un repère orthonormé

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 25-02-16 à 12:34

Cela me surprend que tu ne connaisses pas la formule d'Al-Kashi, car, lorsqu'on regarde la fiche de première " produit scalaire " de l'Ile, c'est la première qu'on rencontre !

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 12:37

Non je n'ai jamais parler de cette formule en cours ... Peut être que je la connais mais ne sait pas qu elle s'appelle ainsi ?

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 12:38

Comment dois je procéder sinon pour calculer mon produit scalaire ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 25-02-16 à 12:43

Je te donne la formule :
BC² = AB² + AC² - 2AB.AC .

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 13:18

D accord merci beaucoup

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 25-02-16 à 18:05

Comment dois je faire pour la suite de l'exercice ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 25-02-16 à 19:30

Quelles sont les deux expressions que tu as obtenues pour AB.AC ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 25-02-16 à 19:59

Bonjour

pour moi cet exo tourne autour de ça et pas de Al Kashi (al Kashi donne le cosinus donc l'angle sans avoir besoin de calculer aucun produit scalaire)

1ère façon de calculer le produit scalaire :

la "célèbre formule" avec les différences de vecteurs
ce qui est pratiquement le seul cas où cette formule sert à quelque chose !!
(sinon on la retrouve en développant le produit scalaire (-)²)

. = (1/2)(||² + ||² - | -|²)

et ici on l'applique avec \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}
ce qui donne :
\vec{AB}.\vec{AC} = \dfrac{1}{2}\left(AB² + AC² - BC² \right) (et ça fait pas 9)

2ème façon :

\vec{AB}.\vec{AC} = AB.AC.cos(A)

et donc cosA = produit scalaire calculé par la première formule / (AB.AC) (en longueurs)

attention aux signes !

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 26-02-16 à 07:35

Ce n est pas plutôt 1/2(AB^2-AC^2-BC^2 ) ??

Posté par
Laura29
re : Produit scalaire 26-02-16 à 07:38

La réponse est -1 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 26-02-16 à 11:56

Il y a deux formules "de ce genre" qui sont en fait obtenues en développant un carré scalaire

1ère formule :

\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^2 = \vec{u}^2 + \vec{v}^2 + 2\vec{u}.\vec{v}
d'ou on tire 2\vec{u}.\vec{v} = \left(\vec{u}+\vec{v}\right)^2 - \vec{u}^2 - \vec{v}^2

et la 1ère formule : \vec{u}.\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\left|\vec{u}+\vec{v}\right|^2 - \left|\vec{u}\right|^2 - \left|\vec{v}\right|^2\right)

malheureusement le vecteur \vec{AB}+\vec{AC} bof

on peut s'en sortir en calculant \vec{AB}.\vec{\red CA} ce qui donnera l'opposé du produit scalaire cherché :

\vec{AB}.\vec{\red CA} = \dfrac{1}{2}\left(BC^2 - AB^2 - AC^2\right)
( car \vec{AB}+\vec{CA} = \vec{CB} )

2eme formule :

idem en développant \left(\vec{u}{\red -}\vec{v}\right)^2 qui aboutit à :
\vec{u}.\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\left|\vec{u}\right|^2 + \left|\vec{v}\right|^2 - \left|\vec{u}{\red - }\vec{v}\right|^2\right)

et donc ici directement (car \vec{AB}- \vec{AC} = \vec{CB} ) à

\vec{AB}.\vec{\red AC} = \dfrac{1}{2}\left(AB^2 + AC^2 - BC^2\right)

évidemment \vec{AB}.\vec{\red AC} = - \vec{AB}.\vec{\red CA}

mais comme on demande \vec{AB}.\vec{\red AC} autant prendre la bonne ...
de toute façon en aucun cas ça ne donnerait ce que tu as écrit

le terme de signe contraire aux deux autres est toujours BC dans les deux cas : le côté opposé à A.
pas l'un des deux vecteurs dont on fait le produit scalaire
en effet la formule est symétrique car \vec{AB}.\vec{AC} = \vec{AC}.\vec{AB}
l'échange de AB et de AC doit donc donner exactement la même valeur (= la même formule)

moralité : plutôt que d'apprendre par coeur une formule aux signes piégeux avec seulement 1 chance sur 6 de la réciter correctement, et qui de toute façon ne sert qu'une fois tous les 36 du mois, la redémontrer à chaque fois en développant le produit scalaire de la somme ou de la différence.

faire intervenir la somme conduit à utiliser \vec{AB}{\red +}\vec{AC} = 2\vec{AI} où I est le millieu de [AB]

bof ... si le point I sert à quelque chose dans l'énoncé, oui

sinon pour calculer le produit scalaire dans un triangle, il vaut mieux utiliser l'autre, celle que j'ai donnée directement ...
(plutôt que de passer par le produit scalaire d'un vecteur opposé et obtenir l'opposé du produit scalaire demandé)

donc oui, le produit scalaire est bien ici \vec{AB}.\vec{AC} = -1
(si on fait un dessin à l'échelle exacte on "voit" d'ailleurs que l'angle A est obtus, le signe du produit scalaire est donc bien correct)



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !