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Produit scalaire

Posté par Profil Tulipe18 11-02-19 à 20:09

Bonjour,
Voici l'exercice:
On considère la figure ci-dessous, où :
ABCD est un carré
FH = 3
AB = 5
BE = 4
AH = 1
BCE est rectangle en B
Calculer le produit scalaire
→       →
CF ⋅  AF
J'ai fait plusieurs méthodes et à chaque fois je trouve -4. Or, cet exercice est un QCM. Les réponses proposées sont:
20; -25; 18; 42
Pouvez-vous m'aider ?
Merci par avance

Produit scalaire

Posté par
matheuxmatou
re : Produit scalaire 11-02-19 à 20:11

Bonjour

Montre une de tes méthodes, on corrigera

Posté par Profil Tulipe18re : Produit scalaire 11-02-19 à 21:16

1ère méthode :
CF . AF = CF . AH  (car H est le projeté de F sur (AB))
CF . AH = (CB + BF) . AH = (CB + BH) . AH = (CE + EB + BH) . AH = (BE + EB + BH).AH ( car B est le projeté de C sur (BE))
= BH . AH = - ||BH|| × ||AH|| = -4 × 1 = -4
(car BH et AH sont colinéaires  de sens opposés)
(Tout est en vecteur)

2ème méthode:
CF . AF = (CA+AF).AF = (CA+AH).AH = (CD+AH).AH = CD.AH+||AH||^2 = BA.AH+||AH||^2 = 1/2 (||BA+AH||^2-||BA||^2-||AH||^2)+||AH||^2 = 1/2(||BH||^2-||BA||^2-||AH||^2)+||AH||^2 = 1/2(4^2 - 5^2 -1^2)+1^2 = -4

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 11-02-19 à 21:54

Bonjour,

erreur fondamentale

CF . AF = CF . AH (car H est le projeté de F sur (AB))

complètement faux de chez faux
la méthode avec les projetés orthogonaux concerne la projection d'un des vecteurs sur le support de l'autre
exclusivement
pas sur une droite quelconque n'importe laquelle !!
on aurait par exemple
Produit scalaire
avec A' la projection de A sur (FC)
CF.AF = CF.A'F
ce qui n'apporte pas grand chose ...

2ème méthode:
CF . AF = (CA+AF).AF OK Chasles
= (CA+AH).AH AH n'est pas AF, ni la projection sur va savoir quoi ... (même erreur)


bonnes méthodes :
formule avec les longueurs : calculer (Pythagore) ||AF||, ||CF|| et ||AC||
et appliquer la bonne formule

ou bien par décomposition (selon les directions du carré car cela conduira à des simplifications)
CF.AF = (CB+BF)(AH+HF) par Chasles
= CB.AH + CB.HF + BF.AH + BF.HF développement
CB.AH = 0
CB.HF = ||CB||*||HF|| car colinéaires de même sens
BF.AH , là oui on peut projeter l'un sur le support de l'autre
BF.HF, et là aussi

ou bien calcul via des coordonnées et un repère

etc etc

Posté par Profil Tulipe18re : Produit scalaire 11-02-19 à 23:30

Ok. Je crois avoir compris mon erreur. Je refais tous ça demain matin. Merci !!!

Posté par Profil Tulipe18re : Produit scalaire 12-02-19 à 10:56

Bonjour,
J'ai repris mon exercice avec les 3 méthodes que tu me donnes. Avec un repère, je trouve bien 20. Avec les autres méthodes, je bloque toujours.

Méthode du repère:
(D,i,j) le repère: D l'origine et i, j les vecteurs unitaires
D(0,0) ; C(5;0); B(5;5) ; A(0;5); H(1;5); F(1;8); E(9;5)
Puis j'ai calculé les coordonnées des vecteurs CF(-4;8) et AF(1;3)
Donc CF.AF = -4*1+8*3 = 20

Méthode de décomposition et projeté orthogonal:
CF.AF = (CB+BF).(AH+HF)   (Relation de Chasles)
               = CB.AH+CB.HF+BF.AH+BF.HF  (Développement)
                =       0       +  IICBII*IIHFII+BH.AH+BH.HF
(Car: CB et AH sont perpendiculaires; CB et HF sont colinéaires de même sens; BH et AH sont colinéaires de sens contraires; H est le projeté de F sur (AB))
CF.AF = IICBII*IIHFII-IIBHII*IIAHII + 0
(Car: BH et AH sont colinéaires de sens contraire et BH et HF sont perpendiculaires)
CF.AF= 5*3-4*1 = 15-4 = 11

Où est mon erreur? C'est toujours les projections ???

Méthode des longueurs et Pythagore:
Je n'arrive pas à calculer IICFII puisque le triangle CBF est isocèle en B mais rectangle donc on ne peut pas utiliser Pythagore ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 12-02-19 à 11:19

• coordonnées OK

• BF.HF ≠ BH.HF

tu projettes BF sur le support de HF ???? certainement pas ! toi tu le projettes sur (AB) donc c'est faux

Citation :
la méthode avec les projetés orthogonaux concerne la projection d'un des vecteurs sur le support de l'autre
exclusivement
pas sur une droite quelconque n'importe laquelle !!


• Par Pythagore : je t'ai tracé un point H' c'était pour l'utiliser !!

Posté par
sigmabeta
re : Produit scalaire 12-02-19 à 11:59

Bonjour ;

Une autre façon de faire :

\vec{CF}.\vec{AF}=(\vec{CB}+\vec{BH}+\vec{HF}).(\vec{AH}+\vec{HF})

***message modéré***heureusement que tu sais le faire ! ***merci de laisser faire les élèves !!**

Posté par
sigmabeta
re : Produit scalaire 12-02-19 à 12:00

Je m'excuse mathafou ; je n'avais pas vu ton post .

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 12-02-19 à 12:10

ça revient exactement au même
au lieu de projeter un vecteur on le remplace par Chasles avec le point de projection orthogonale
Produit scalaire
MN.MP = MN(MK+KP) = MN.MK + MNKP = MNMK + 0 = MN.MK

on démontre ainsi la propriété énoncée par projection d'un vecteur sur le support de l'autre.

il me semble même que vu que Tulipe18 n'arrête pas de se tromper quasiment à chaque fois dans ses projections, il vaudrait mieux pour lui ne jamais utiliser nulle part cette propriété directement, et les remplacer systématiquement par cette décomposition supplémentaire

Posté par
matheuxmatou
re : Produit scalaire 12-02-19 à 18:55

(merci Matafou d'avoir pris le relais... )



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