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Produit scalaire

Posté par
pseudau 25-03-20 à 18:14

Bonjour j'ai une question par rapport à la démonstration de la formule du produit scalaire en fonction du cos

Produit scalaire

*image recadrée*

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 25-03-20 à 18:22

\vec{OB}(x';y')
je ne comprends pas pourquoi

x'=||\vec{v}||cos(\vec{u};\vec{v}) \\ \\ y'=||\vec{v}||sin(\vec{u};\vec{v})

merci de votre aide

Posté par
Leilere : Produit scalaire 25-03-20 à 18:29

bonjour,

trace   BH  perpendiculaire à OA
place toi dans le triangle OBH rectangle en H.

x'   =  OH  
dans ce triangle exprime cos (AOB) ...

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 25-03-20 à 18:35

cos (AOB)=x'=OH
mais ensuite?
merci

Posté par
Leilere : Produit scalaire 25-03-20 à 18:37

cos   (AOB)=x'=OH   ??????  
pas du tout !

en 3ème   tu as appris que    cos =  adjacent / hypoténuse..

cos  (AOB) = ??

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 25-03-20 à 18:38

ah non on n'est pas dans un cercle trigo
cos (AOB)=OH/OB
=x'/OB

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 25-03-20 à 18:46

ok j'ai compris merci

Posté par
Leilere : Produit scalaire 25-03-20 à 18:48

cos  (AOB)  =   OH / OB   en effet
==>
OH  =  OB  *   cos (AOB)      

ne peux tu pas à partir de là  retrouver  :

x'=||\vec{v}||cos(\vec{u};\vec{v})   ?

Posté par
Leilere : Produit scalaire 25-03-20 à 18:48

messages croisés.
Bonne soirée

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 25-03-20 à 18:52

en fait je ne comprends pas la démonstration du produit scalaire en fonction du cos \vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'

Posté par
Leilere : Produit scalaire 25-03-20 à 18:59

je ne comprends pas ta question..

dans    u.v   =  xx'  +  yy'   il n'y a pas de cos...

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 25-03-20 à 21:09

Comment en déduire que

\vec{u} \vec{v} =||u||*||v||cos(\vec{u};\vec{v})?

Posté par
Leilere : Produit scalaire 25-03-20 à 22:05

à partir de
. =    OA.OH
==>  on a :
.=  ||||*||||*cos(,)

et avec (X, Y)  et (X';Y')
=  X+Y
et = X'+Y'

.=(X+Y).X'+Y'
tu développes,
et sont perpendiculaires, donc .=0,
et tu arrives à  XX'+YY'

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 26-03-20 à 08:15

En fait dans mon cours c'est l'inverse on a d'abord démonté que u.v=xx'+yy'
Et ensuite je veux demontrer que ce produit scalaire =||u|| ||v|| cos (u;v)

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 26-03-20 à 13:07

on a montré que

x'=||\vec{v}||cos(\vec{u};\vec{v}) \\ \\ y'=||\vec{v}||sin(\vec{u};\vec{v}) \\ \\ \vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'

comment en déduire que

||\vec{u};||\vec{v}||.cos(\vec{u};\vec{v})

j'ai développé :

x.||\vec{v}||cos(\vec{u};\vec{v})+y .||\vec{v}||sin(\vec{u};\vec{v}) \\

comment poursuivre?

Merci

Posté par
Leilere : Produit scalaire 26-03-20 à 13:32

remarque que  X' = OH  , X = OA et   Y=0

\vec{OA}. \vec{OB}  = X  X'          +   Y  Y'
\vec{OA}. \vec{OB}  = OA . OH  +   0 . OB
or OH = OB cos (u, v)
donc  
\vec{OA}. \vec{OB}  = OA . OB. cos (u,v)

\vec{u}. \vec{v}  = ||u|| . ||v||. cos (u,v)

ça te va ?

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 26-03-20 à 15:53

ok on utilise la propriété du projeté orthogonal?

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 26-03-20 à 16:10

encore une question
cos (AOB)=cos(HOB) c'est exact?
merci

Posté par
Leilere : Produit scalaire 26-03-20 à 16:52

pseudau @ 26-03-2020 à 16:10

encore une question
cos (AOB)=cos(HOB) c'est exact?
merci

oui, c'est le même angle.

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 27-03-20 à 15:01

ok merci je vais poursuivre
comment on peut résumer le produit scalaire? Un nombre? mais encore?

Posté par
Leilere : Produit scalaire 27-03-20 à 15:53

le produit scalaire : "produit"  c'est une opération (son opérateur est le point). Le résultat est un nombre, en effet.
Il dépend de la longueur des vecteurs (normes) et de l'angle qu'ils forment.
Il définit  un espace  vectoriel.

Bonne journée.

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 27-03-20 à 16:02

il est négatif lorsque les vecteurs forment un angle aigu?

Posté par
Leilere : Produit scalaire 27-03-20 à 16:06

???    reprends ton cours..  

Posté par
pseudaure : Produit scalaire 27-03-20 à 19:48

je voulais dire obtus

Posté par
Leilere : Produit scalaire 27-03-20 à 20:47

ah ! d'accord !!
oui, c'est vrai.


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