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Niveau première
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Produit scalaire

Posté par
Falone
29-03-20 à 14:49

Bonjour, je suis en première et je me retrouve coincé à cet exercice

ABC est un triangle isocèle en A et D est le milieu du segment [BC].
1. Démontrer que : AB*.AC* = AD2 − DC2
2. En déduire que : AB*.AC* = AB2 − 2DC2

*vecteur

J'ai réussis à démontrer avec le théorème de la médiane mais je ne comprend pas comment en déduire la formule suivante.

Merci d'avance

Posté par
ZEDMAT
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:00

Bonjour,

Tu pars du produit scalaire AB*.AC* où tu remplaces AB* par (AD* + DB*) relation de Chasles) ; idem avec AC*.

Et tu y es ... presque.

Essaye

Posté par
phyelec78
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:01

Bonjour,

Si ton triangle est isocèle en A alors AB=AC.
Pense à utiliser le théorème de Pythagore si tu l'as appris.
tu as écrit AB* , je connais la notation *, peut me dire ce qu'elle signifie.

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:14

Ca c'est ce que j'ai fait pour démontrer que AB*.AC*=AD2.DC2, mais  ce que je comprend pas c'est comment trouver que c'est égale à AB2-2DC2
En faisant ca on enlève AB... ou alors j'ai mal compris votre explication je m'en excuse si c'est le cas

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:16

phylec78 c'est pour dire que c'est un vecteur

Posté par
ZEDMAT
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:19

à phyelec78

1) Comme Falone l'a indiqué, il remplace la flèche du vecteur par *. Cela n'est pas "génial" mais pourquoi pas :

AB* signifie \vec{AB}.

Faute de maîtriser Latex mieux vaudrait utiliser la notation vec(AB)....

2) Je pense que l'on attend une démonstration en recourant au produit scalaire.

Attendons de voir comment Falone va... réagir

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:20

Ce que je comprend pas c'est qu'en utilisant le théorème de pythagore on enlève AB qui est censé etre dans le resultat...

Posté par
ZEDMAT
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:22

Falone @ 29-03-2020 à 15:14

Ca c'est ce que j'ai fait pour démontrer que AB*.AC*=AD2-DC2, mais  ce que je comprend pas c'est comment trouver que c'est égale à AB2-2DC2
En faisant ca on enlève AB... ou alors j'ai mal compris votre explication je m'en excuse si c'est le cas


Si tu avais dit que tu avais déjà fait la première question , on aurait gagné du temps...

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:37

Désolé je me suis mal exprimé, quand j'ai dit la formule suivante, je parlais de la deuxieme

Posté par
ZEDMAT
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:47

Je ne suis pas sûr que tu ais fait la première question en utilisant le produit scalaire comme je te l'ai suggéré ?

Pour toi , c'est quoi le théorème de la médiane ?

Pour la question 2, "en déduire " est facile... dans le triangle rectangle ABD on a AD² = ...
(Pythagore effectivement !)
Dans la relation de la question 1 on remplace AD² .

A toi de dire.

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 15:59

Pour la 1 en faite j'ai utilisé la démonstration du théorème de la médiane, donc en utilisnt chasles et en distribuant.
Pour la question 2,  ducoup on a  AD2= AB2.DB2
Donc (AB2.DB2)-DC2
Comme DB2=-DC2 on peut donc noter (AB2.DC2)-DC2 mais ensuite comment faire pour sortir DC3  de la parenthèse?

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 16:03

DC2 pas au cube faute de frape

Posté par
ZEDMAT
re : Produit scalaire 29-03-20 à 16:12

Falone @ 29-03-2020 à 15:59

Pour la 1 en faite j'ai utilisé la démonstration du théorème de la médiane, donc en utilisant chasles et en distribuant.

Désolé mais je ne comprends pas


Pour la question 2,  du coup on a  AD2= AB2.DB2

Pythagore ?? je ne comprends pas !!

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 16:22

Pour la question 1:
AB.AC=(AD+DB).(AD+DC)
               = AD.AD+AD.DC+AD.DB+DB.DC
               =AD2+0+0-DC2 (car DB et DC sont égaux mais pas de même sens)
               =AD2-DC2

Pour la question 2 vous m'avez mis AD2=... (pythagore effectivement) donc je l'ai remplacé par AB2+DB2

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 16:24

Je vois mon erreur je me suis enmeléee desole

Posté par
ZEDMAT
re : Produit scalaire 29-03-20 à 16:26

\vec{AB}.\vec{AC}= (\vec{AD}+\vec{DB}).(\vec{AD}+\vec{DC})\\\\ \vec{AB}.\vec{AC}= (\vec{AD}-\vec{DC}).(\vec{AD}+\vec{DC})\\\\ \vec{AB}.\vec{AC}= \vec{AD}^{2}-\vec{DC}^{2}\\\\ \vec{AB}.\vec{AC}= AD²-DC²

Citation :
Pour la question 2 vous m'avez mis AD2=... (pythagore effectivement) donc je l'ai remplacé par AB2+DB2


Tu devrais regarder où est l'angle droit  

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 16:34

Oh ça fait AB2-DB2
Donc on a (AB2-DB2)-DC2
et comme DB et DC on la meme norme on peut remplacer DB par DC on a AB2-2DC2

Posté par
ZEDMAT
re : Produit scalaire 29-03-20 à 16:50

Tout simplement

Bonne continuation.

Posté par
Falone
re : Produit scalaire 29-03-20 à 16:57

Meri infiniment bonne continuation à vous aussi



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