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Produit scalaire

Posté par
Lyline63
01-04-20 à 14:48

Bonjour,
J'ai fait un exercice de maths et j'aimerais savoir s'il est juste. Pourriez-vous m'aider?
Voici l'énoncé: Dans un repère (O; I;J) on a les points À(2;-1) B(4;2) C(4;0) D(1;2)
     1) Calculer AB (vecteur ) scalaire CD (vecteur ) que peut-on en déduire?
     2) Démontrer que les droites (DB) et (BC) sont perpendiculaires
     3)Calculer CB (vecteur ) scalaire CD (vecteur ) et en déduire une valeur approchée de l'angle (CB;CD)

Mes réponses :
1) AB (vecteur )=(2;3)     CD (vecteur )=(-3;2)
     AB (vecteur )scalaire CD (vecteur )=0
     Donc les vecteurs sont perpendiculaires

2) DB (vecteur )=(3;0)      BC (vecteur )=(0;-2)
      DB (vecteur )scalaire BC (vecteur )=0
       Donc les vecteurs sont perpendiculaires

3) CD (vecteur )=(-3;2)      CB (vecteur )=(0;2)
      CD (vecteur )scalaire CB (vecteur ) n'est pas égal à zéro donc ce n'est pas perpendiculaires.
       J'utilise le théorème d'Al-Kashi pour trouver l'angle (CB;CD)
       DB^2 = DC^2 + BC^2  -2*DC*BC*COS(BCD)
        
On sait que        AB^2=(xb -xa)^2+(yb -ya)^2
                                  AB =(xb -xa)+(yb -ya)
Donc je trouve :   9=13+4-2*1*(-2)*cos(BCD)
                                       9=21*cos(BCD)
                                       ARCCOS (9/21) environ = 64,6 degrés

Merci à celui ou celle qui pourra m'aider à corriger mes potentiels erreurs 😊.

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 01-04-20 à 15:10

1) et 2) : c'est bon.
3) Tu ferais mieux de calculer le produit scalaire CB.CD de deux façons différentes : par projection orthogonale et au moyen de la formule avec cosinus.

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 01-04-20 à 15:23

Je ne vois pas comment par projeté orthogonal
Mais du coup j'ai trouvé le bon résultat pour l'angle?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 01-04-20 à 15:27

Le vecteur CD se projette orthogonalement en CB sur la droite support de l'autre vecteur.

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 01-04-20 à 16:03

Ah oui cela fait 2*2*cos (DCD)

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 01-04-20 à 16:13

Du coup ça fait -4 = cos (DCB)

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 01-04-20 à 16:34

Et après je fais comment

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 01-04-20 à 16:46

Le produit scalaire serait négatif ?

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 02-04-20 à 16:46

Bah je sais pas apparemment oui

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 02-04-20 à 17:10

Pourquoi as-tu mis un signe  -  devant le 4 ?

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 02-04-20 à 20:10

J'ai fais tourner la formule pour trouver mon inconnue c'est à dire cos DCB

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 02-04-20 à 20:11

2*2*cos =0
Cos = -4??

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 02-04-20 à 20:51

Pour calculer le produit scalaire CB.CD par projection orthogonale :
Le point D se projette orthogonalement en B sur la droite BC, de sorte que le vecteur CD se projette en CB.
On peut donc remplacer, dans CB.CD, le vecteur CD par le vecteur CB :

CB.CD = CB.CB =  CB*CB = CB² = 2² = 4 .

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 02-04-20 à 20:55

D'accord merci mais mon plus gros problème c'est la deuxième partie de la question :déduire une valeur approchée de l'angle (CB;CD)

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 02-04-20 à 21:13

Pour répondre, on calcule autrement le produit scalaire, en utilisant la formule qui contient un cosinus.

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 02-04-20 à 23:03

Je sais pas ! J'ai essayé arccos 4 ma calculette me dis erreur!

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 02-04-20 à 23:05

Je sais que la formule c'est CB*CD*cos(CB;CD)

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 03-04-20 à 09:34

Oui,  = CB.CD . Ecris cette égalité et isole  cos(CB;CD) .

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 03-04-20 à 11:35

J'en reviens à ce que j'ai fais précédemment....
2*2*cos (CB;CD)
4Cos (CB;CD) = 0
Cos (CB;CD) =-4 ...

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 03-04-20 à 11:49

Cela serait plus clair si tu écrivais d'abord l'égalité littérale complète comme je te l'ai conseillé.

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 04-04-20 à 21:30

Mais c'est quoi pour vous l'égalité latérale complète ??

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 04-04-20 à 21:32

Je l'ai déjà marqué plus haut

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 04-04-20 à 22:17

Cette égalité, c'est   CB.CD = CB*CD*cos(CB,CD) .

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 05-04-20 à 10:57

Donc ça fait 4 =4 cos (CB;CD) donc 1 =cos(CB;CD) ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 05-04-20 à 12:11

CB*CD n'est pas égal à 4 , comme  le produit scalaire CB.CD , mais au produit des longueurs des vecteurs CB et CD.

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 05-04-20 à 12:18

Ahh d'accord et du coup comment je m'y prends pour trouver ces longueurs ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 05-04-20 à 12:28

Tu connais les coordonnées de tous les points . . .

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 05-04-20 à 21:02

Je trouve racine de 13 pour CD et deux pour CB[quote]

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 06-04-20 à 09:12

Oui. D'où  cos(CB,CD) = . . .

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 06-04-20 à 10:50

4Cos = 2 racine de 13

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 06-04-20 à 11:07

CB.CD = CB*CD*cos(CB,CD)

cos(CB,CD) = . . . . ? (littéralement)

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 06-04-20 à 12:17

Cos (CB;CD )=CB.CD /CB*CD ?

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 06-04-20 à 15:00

Oui. Remplace maintenant les termes du second membre par leur valeur numérique.

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 06-04-20 à 15:01

Du coup ça fait 2*2 /2racine de 13

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 06-04-20 à 15:24

Oui, soit cos(BC,BD) = 2/13 .
D'où la valeur numérique de l'angle (CB,CD).

Posté par
Lyline63
re : Produit scalaire 06-04-20 à 15:47

Ok, merci !

Posté par
Priam
re : Produit scalaire 06-04-20 à 17:46



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