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Produit Scalaire
Je n'arrive pas a faire cet exercice pouvez vous m'aider.
ABCD est un rectangle de centre o tel que AB=6 AD=8
1)Soit A' le projeté orthogonal de A sur (BD) et C' celui de C
sur (BD)
En calculant de 2 façons différentes vecteur AC scalaire
vecteur BD, calculer A'C'
2)M désigne un point quelconque du plan
a)Exprimer MA au carré + MC au carré en fonction de MO au
carré.
b)Soit f(M)=MA au carré +MB au carré + MC au carré + MD
au carré. Déterminer l'ensemble des points M du plan tels qu
f(M)=300
3)k étant un réel quelconque
a)Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de
l'ensemble, Ek, des points M tels que f(M)=k
b)Trouver la valeur de k pour que A,B,C et D appartiennent
à cet ensemble Ek.
J'espère avoir une réponse très vite je doit rendre cet exercice pour ds 4jours.
Merci d'avance
Bonjour,
Je n'écris pas les flèches sur les vecteurs et le point correspond
au produit scalaire.
AC.BD=(AA'+A'C'+C'C).BD
= AA'.BD + A'C'.BD + C'C.BD
= 0 + A'C'*BD (en longueur) + 0
(en utilisant les vecteurs orthogonaux).
2ème méthode
AC.BD=(AB+BC).(BA+AD)
= AB.BA+BC.BA+AB.AD + BC² (car BC=AD)
=-AB² + 0 + 0 + BC² = 64-36 = 28
Donc A'C'*BD = 28
Or d'après le théorème de Pythagore BD=10 donc A'C'=2,8.
2) a) MA²+MC²= (MO+OA)²+(MO+OC)²
= MO²+OA²+2MO.OA+MO²+OC²+2MO.OC
=2MO²+(AC/2)²+(AC/2)²+2MO.(OA+OC)
Or OA+OC=0 et AC=10 donc MA²+MC²=2MO²+50
b) De même MB²+MD²=2MO²+50 (par symétrie)
Donc f(M)=4MO²+100
f(M)=300 si MO²=50 donc si MO= 
50
Donc l'ensemble des points est le cercle de centre O
et de rayon 50.
f(M)=k est équivalent à MO²=(k-100)/4
Si k<100, l'ensemble Ek est vide car MO² ne peut pas être négatif.
Si k=100, l'ensemble Ek est le point O seulement.
Si k>100, l'ensemble Ek est un cercle dont je te laisse chercher
les caractéristiques (centre et rayon).
Pour que A, B C et D appartiennent à l'ensemble Ek, il faut que MO=AO=
10/2=5 soit MO²=25 donc il suffit de résoudre l'équation
(k-100)/4=25 (je te laisse le faire. Tu dois trouver k=200.)
@+
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