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Produit scalaire

Posté par
Azerty43690
29-12-20 à 10:36

Bonjour,
je ne comprends pas à quoi correspond l'intervalle de k

On se place dans le repère orthonormé (A ,(AB) ⃗,(AC) ⃗)

Les points D, E et F sont placés sur les segments [AB], [BC] et [CA] tels que

AD=BE=CF=k   avec  k∈[0 ;1]



1)Déterminer en fonction de k les coordonnées des points F et D

2)Montrer que les coordonnées du point E sont :

E (1-k √2/2;k √2/2)

3)Calculer le produit scalaire (DE) ⃗.(DF) ⃗ en fonction de k.

4)Existe-t-il une valeur de k telle que le triangle DEF soit rectangle en D ?

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 10:40

schéma

Produit scalaire

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 10:44

Bonjour

AD= k   donc  \vec{AD}=k\vec{AB} si vous prenez k en dehors de cet intervalle D n'appartient plus au segment [AB]

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 29-12-20 à 10:44

salut

tu as fait la question 2/ ... mais et la 1/

une fois les coordonnées des points connues il est aisé d'avoir les coordonnées des vecteurs DE et DF  et leur produit scalaire ...

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 10:59

Oui mais comment trouver les coordonnées

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:04

Vous avez déjà les coordonnées de D

Que vaut AF ?

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:06

Les coordonnées de D sont AD = k AB ?

AF = k AC

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:07

ça ne veut rien dire ...

on demande un couple de réels ...

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:12

AF = CF-AF  

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:14

c'est l'idée ... mais cette égalité est fausse ...

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:17

hekla @ 29-12-2020 à 10:44

Bonjour

AD= k   donc  \vec{AD}=k\vec{AB} si vous prenez k en dehors de cet intervalle D n'appartient plus au segment [AB]


D'abord je n'ai pas bien compris cela

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:19

Dire que le point M a pour coordonnées  (x~;~y) dans le repère  (O ; \vec{\imath},\vec{\jmath})  c'est dire que \vec{OM}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:28

  Les points A, B, D sont alignés
Si vous avez

k<0   alors D n'appartient pas au segment [AB] il est situé sur la demi-droite d'extremité A

k=0 alors D=A

0<k<1  D appartient au segment ]AB[

k=1 alors  \vec{AD}=\vec{AB} et D=B

si k>1 D appartient à la demi droite [AB)  mais à l'extérieur du segment

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:31

coordonnées:
D ( k ; 0 )
F (0 ; 1-k)

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:43

Bien

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:54

Par contre pour trouver x du point E il faudrait faire le projeté orthogonal de E sur la droite AB ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:58

(AB)  AB \in\R

et sur (AC)

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 11:59

pour (AC) c'est évidemment pour l'ordonnée

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:01

AC = 1

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:03

Oui

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:05

Donc BC = 2

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:08

Non
Revoir Pythagore

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:08

2 plutôt

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:09

Oui

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:15

Mais pourquoi multiplier k par / 2

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:22

on a immédiatement par la relation de Chasles : AE = AB + BE

donc les coordonnées de E sont aisées à obtenir ...

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:23

Il faut commencer par nommer les projetés orthogonaux de E sur (AB) par exemple H et  celui de E sur (AC) par exemple L

Après deux possibilités

Soit Thalès  pour calculer EH

Soit Pythagore dans le triangle rectangle isocèle EHB

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 12:24

Le problème ne donne pas le même résultat  (1-k ; k)

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 13:49

BE/BC = EH/CA
k/racine2 = EH/1
EH = k/racine2

CE/CB = EL/AB
(racine2-k)/racine2 = EL/1
EL =( racine2-k)/racine2

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 13:54

EL=AH=\dfrac{\sqrt{2}-k}{\sqrt{2}}  oui

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 13:57

EH=AL=\dfrac{k}{\sqrt{2}}  oui  à rendre rationnel le dénominateur

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 29-12-20 à 14:39

c'est à dire à rendre rationnel ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 14:47

\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}

On dit que l'on a ainsi rendu rationnel le dénominateur en multipliant le numérateur et
le dénominateur par \sqrt{b} pour ne plus avoir de racine carrée au dénominateur

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire 29-12-20 à 14:53

\vec {AE} = \vec {AB} + \vec {BE} = \vec {AB} + \dfrac {BE} {BC} \vec {BC} donnait immédiatement le résultat ...

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 02-01-21 à 16:03

EL=(2-racine2*k)/2

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 02-01-21 à 16:26

EL est l'ordonnée de E

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 02-01-21 à 18:58

l'abscisse plutôt

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 02-01-21 à 19:04

Oui au temps  pour moi  l'ordonnée c'est EH

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 03-01-21 à 08:23

Oui mais par contre je ne trouve pas la même chose que l'exercice

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 03-01-21 à 11:11

E a pour abscisse  \dfrac{2-k\sqrt{2}}{2}=1-k\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Pour ordonnée  k\dfrac{\sqrt{2}}{2}

C'est bien ce que donnait votre texte.

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 03-01-21 à 13:50

Donc DE.DF = k2-k+1

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 03-01-21 à 14:39

\vec{DE} \ \dbinom{1-k\dfrac{\sqrt{2}}{2}-k}{k\dfrac{\sqrt{2}}{2}}

 \vec{DF}\ \dbinom{0-k}{1-k}


\vec{DE}\cdot \vec{DF}=\left (1-k\dfrac{\sqrt{2}}{2}-k\right)(-k)+{\left(k\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)(1-k)

Posté par
Azerty43690
re : Produit scalaire 03-01-21 à 16:51

Donc DE.DF= k2+1/2*k*(racine2 -2)

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 03-01-21 à 17:12

Oui

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