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Produit scalaire

Posté par
clarisse1
29-12-20 à 20:33

Bonsoir,
J'ai un Dm en maths et je bloque sur une question ce qui m'empêche de continuer la suite de l'exercice.
Voici mon sujet:

Soit ABCD un parallélogramme tel que AB=5; AD=4 et AC=7.

Nous cherchons le produit scalaire de AB x AD ( le x est normalement un point)

Merci d'avance de votre aide.

Posté par
clarisse1
re : Produit scalaire 29-12-20 à 20:37

      
Voici un peu la  figure que j'ai  

       D   I-----------------I C
             I                              I
            I                              I
A      I-----------------I   B

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 20:39

Bonsoir

Que proposez-vous ?

Mesure de  \widehat{ADC} ?  de \widehat{DAB}

Posté par
clarisse1
re : Produit scalaire 29-12-20 à 20:44



Je vois donc je dois commencer par mesurer les deux angles mais j'ai un problème c'est que je connais pas la formule pour les calculer  :/

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 20:46

Une figure plus précise avec GeoGebra

Produit scalaire

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 20:50

Al kashi

d^2=a^2+c^2-2ac \cosD  en prenant la notation habituelle  

d est la longueur du côté opposé à l'angle \widehat{D}

Posté par
clarisse1
re : Produit scalaire 29-12-20 à 20:56


d[/sup]=a[sup]+c[/sup]-2xaxc
                           =5[sup]
+4[/sup]-2x5x4
                           =25+16-40
                            =41-40
d[sup]
=1

C'est ça ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 21:03

Je ne vois pas la trace d'un cosinus ; au temps pour moi il ne s'est pas affiché à cause d'une espace manquante


d^2=a^2+c^2-2ac\cos \widehat{ADC}

49=25+16-40 \cos \widehat{ADC}

il faut écrire l'exposant  entre les balises sup  à défaut ^

Posté par
carita
re : Produit scalaire 29-12-20 à 21:17

bonsoir à vous deux
pour le cas où le théorème d'Al Kashi ne serait pas encore dans le cours de clarisse1,
peut-être (vect(AB)+vect(AD))² =
je repars...

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 21:26

Bonsoir carita

Vous pouvez rester. C'est une bonne idée  simple et rapide beaucoup plus que ce que j'avais proposé

Si clarisse1  ne veut pas se lancer dans de longs calculs approximatifs


donc on efface tout et on recommence

(\vec{AC})^2=(\vec{AB}+\vec{AD})^2=(\vec{AB}+\vec{AD})\cdot (\vec{AB}+\vec{AD})

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 21:36

Vous avez bien fait d'intervenir  je  m'étais embarqué dans de longs calculs  alors que votre
proposition tient en à peine une ligne  car on n'est pas obligé de recalculer un carré scalaire

(u+v)^2=u^2+v^2+2 u \cdot v

Posté par
clarisse1
re : Produit scalaire 29-12-20 à 21:38

Le calcul

D2=a2+c2-2xaxcxcos(ADC)
49=25+16-40xcos(ADC)
-40cos(ADC)=41-49
Cos(ADC)=5

Non?
Soit 78.5 degré

Posté par
carita
re : Produit scalaire 29-12-20 à 21:41

hekla j'ai hésité à vous déranger...
bonne soirée à tous deux

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 29-12-20 à 21:50

Non    vous avez 49=41-40 \cos D   donc \cos D= -\dfrac{1}{5}

ce qui entraîne \widehat{DAB}\approx 78,48

Mais il vaut mieux abandonner ceci et  utiliser ce que propose carita

(\vec{AC})^2=(\vec{AB}+\vec{AD})^2=(\vec{AB})^2+(\vec{AD})^2+2\vec{AB}\cdot \vec{AD}

Posté par
clarisse1
re : Produit scalaire 30-12-20 à 10:21

Suite à ça, nous devons faire le calcul suivant:

AB . AD= ABxAD+cos(DAB)
AB . AD= 5x4+(-1/5)
AB . AD= 20-1/5
AB . AD= -4

Est-ce que c'est la bonne réponse ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 30-12-20 à 10:35

Vous avez un peu tout mélangé

Je vous ai dit d'abandonner la première méthode que je vous ai indiqué  celle de carita est bien plus simple et presque sans calcul

(\vec{AC})^2=(\vec{AB}+\vec{AD})^2=(\vec{AB})^2+(\vec{AD})^2+2\vec{AB}\cdot \vec{AD}

on a donc

2\vec{AB}\cdot \vec{AD}=(\vec{AC})^2-(\vec{AB})^2-(\vec{AD})^2

sachant aussi que  (\vec{u})^2=\|\vec{u}\|

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 30-12-20 à 10:36

lire évidemment  (\vec{u})^2=\|\vec{u}\|^2

Posté par
clarisse1
re : Produit scalaire 30-12-20 à 10:46

Oui cela m'a bien donné 1/5 avec la formule de Carita .

Mais après avoir calculer l'angle DAB. Nous devons calculer le produit scalaire de              AB . AD?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 30-12-20 à 11:18

C'était une erreur de passer par le calcul des angles  

vous ne tenez compte que du message de 10 : 35  corrigé à 10 :36

2\vec{AB}\cdot \vec{AD}=(\vec{AC})^2-(\vec{AB})^2-(\vec{AD})^2

 \\ \|\vec{AC}\|^2=49,\ \|\vec{AB}\|^2=25,\ \|\vec{AD}\|^2=16,\

Posté par
clarisse1
re : Produit scalaire 30-12-20 à 11:28

2(5 . 4)= 49-25-16
40        =8
8/40
1/5
C'est ça?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 30-12-20 à 11:33

Non il n'y a plus aucune référence à ce que l'on veut calculer

 2\vec{AB}\cdot\vec{AD}=49-25-16 =8


donc  \vec{AB}\cdot\vec{AD}=\dfrac{8}{2}=4

et c'est tout.

Posté par
clarisse1
re : Produit scalaire 30-12-20 à 11:38

Oh Je n'avais jamais vu cette technique avant .
Merci beaucoup

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 30-12-20 à 11:59

On vous définit bien à un moment donné le produit scalaire par

\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\vec{u},\vec{v})

par conséquent

\vec{u}\cdot\vec{u}=(\vec{u})^2=\|\vec{u}\|^2\cos(0)=\|\vec{u}\|^2

et aussi les opérations

\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}

(\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}

etc

Ce sont ces propriétés que l'on a utilisées

De rien

Pour comparer avec ce que je vous avais suggéré   prochain message  

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 30-12-20 à 12:20

On part du théorème d'Al-Kashi

d^2=a^2+c^2-2ac\cos \widehat{ADC}

49=25+16-40 \cos \widehat{ADC}

donc \cos \widehat{ADC}=-\dfrac{8}{40}= -\dfrac{1}{5}

on en déduit une mesure de \widehat{ADC} à savoir 101,52

une mesure de \widehat{DAB} est 180-101,52= 78,48

maintenant on applique la définition du produit scalaire

\vec{AB}\cdot \vec{AD}= AB\times AD \cos (78,48)\approx 3,9942

ici on n'a qu'une valeur approchée  et que de calculs

L'autre solution est quand même nettement préférable   pour sa simplicité et sa rapidité

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