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Produit scalaire

Posté par
Shinnybird
16-04-21 à 16:13

Bonjour, voici l'énoncé :

"Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;i\rightarrow;j\rightarrow).
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives :
A(3 ; 0)    B(0 ; 6)    C(0 ; 2,5)    D(-5 ; 0)

a) Vérifier que le vecteur AC\rightarrow est un vecteur normal à la droite (DB).
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (DB).
c) Déterminer une équation de l'ensemble E des points M(x;y) du plan tels que MD\rightarrow • MA\rightarrow = 0."


Pour le a), J'ai utilisé les vecteurs d\rightarrow(-5 ; 6) et n\rightarrow(3 ; 2,5)
alors d\rightarrow• n\rightarrow= -5x3+6x2,5 = 0
donc le vecteur AC\rightarrow est un vecteur normal à (DB).

b) J'ai utilisé n\rightarrow(3 ; 2,5) et j'ai trouvé 3x + 2,5y + c = 0
Mais je suis bloquée, comment je peut trouver c ?


Merci d'avance !

Posté par
Leile
re : Produit scalaire 16-04-21 à 16:26

bonjour,

b)  je pose un point M(x;y) sur la droite (BD), et je dis que les vecteurs BM et BD sont colinéaires : ça donne tout de suite une équation de la droite (BD).

si tu veux continuer sur ta lancée, tu peux le faire ; pour trouver c : note que cette droite passe par le point B ou le point D par exemple.
(mais vérifie ta réponse, n'y aurait-il pas une erreur de signe ? ).

Posté par
Shinnybird
re : Produit scalaire 19-04-21 à 18:07

bonjour

J'ai cherché dans mon cours mais je ne vois pas comment,  si on dit que  les vecteurs BM et BD sont colinéaires peut me permettre de trouver une équation cartésienne de la droite (BD) ?

Et pouvez vous être plus précis, où est-ce qu'il y a une erreur de signe ?

Posté par
Leile
re : Produit scalaire 19-04-21 à 18:34

As tu essayé ?  Parfois, il faut se lancer et tout s'éclaire !

soit M(x ; y)  appartenant à (BD)
vecteur BM ( x  ;  y-6)    et   BD ( -5 ; -6)
les vecteurs sont colinéaires si    XY' - X'Y = 0
==>   -5 x   + 6(y-6) = 0
==>  - 5x  +  6y  - 6 = 0        c'est bien une équation cartésienne, n'est ce pas ?

toi, tu utilises le vecteur n(3 ; 2,5)..     comment "trouves - tu "  ce vecteur ?
pour la question 1)   AC est un vecteur normal à (DB)  si
les vecteurs AC et  DB sont orthogonaux, soit    AC.BD=0
comment exprimes tu les coordonnées du vecteur AC ?
ça  ne donne pas  (3 ; 2,5)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-21 à 09:25

Bonjour,
@Leile,
Il y a une coquille dans le message de 18h34.
Du 36 et pas 6 dans " - 5x + 6y - 6 = 0 "
Mais il ya une erreur avant dans le calcul du déterminant :
En écrivant les coordonnées l'une en dessous de l'autre pour les 2 vecteurs :
\; x , \; y-6
-5, \; -6
On obtient -6x +5(y-6) pour le déterminant.
Perso, j'aurais utilisé le vecteur DB plutôt que BD.

@Shinnybird,
Pour 2), utiliser le vecteur normal trouvé au 1) est une bonne idée.
Recalcule les cordonnées du vecteur AC pour rectifier ce que tu as écrit.
Puis, pour trouver c, utilise un des deux points B ou D de la droite (BD).

Posté par
Leile
re : Produit scalaire 20-04-21 à 13:04

Merci Sylvieg d'avoir rectifié mon message truffé d'erreurs.
Je ne sais pas ce qui s'est passé, il n'était pourtant pas si tard !  
d'autant que "sur ma feuille", je retrouve bien comme toi 6x -5y +30=0
faut que j'aille prendre des vitamines.

Je te laisse poursuivre avec Shinnybird, si tu es disponible  (calcul des coordonnées de AC).

Bonne journée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-21 à 13:48

De rien Leile
Je ne serai pas disponible avant la fin d'après midi.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-21 à 14:10

Bonjour à tous
et en attendant,

*** auto censuré ***

Posté par
Leile
re : Produit scalaire 20-04-21 à 14:18

Sylvieg @ 20-04-2021 à 13:48

De rien Leile
Je ne serai pas disponible avant la fin d'après midi.

Je continue à garder un oeil, si Shinnybird revient  

Posté par
Shinnybird
re : Produit scalaire 20-04-21 à 16:39

Bonjour,
Merci à tous pour vos explications !

Du coup, j'ai recalculé :

a) DB(5 ; 6) donc par propriété si AC est un vecteur normal à (DB) alors DB(-b ; a) et AC(a ; b) donc on obtient AC(6 ; -5).
DB . AC=0
5x6+6x(-5)=0

b) Avec le vecteur normal AC :
6x -5y + c = 0
j'utilise le point B :
6x0-5x6+c=0         c=30

donc une équation cartésienne de (DB) est :
6x-5y+30=0


Est-ce que c'est bon ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-21 à 17:22

Pour voir si ton équation est bonne, tu calcules, mentalement ou pas, \; 6xB - 5yB +30 \; et \; 6xD - 5yD +30 .
Si tu trouves \; 0 \; pour les deux calculs, c'est bon \;

Posté par
Shinnybird
re : Produit scalaire 20-04-21 à 17:35

Ensuite pour c)

Soit I milieu de (AD)
D'après le théorème de la médiane : MD.MA = MI2 - 1/4 AD2
IA2=1/4AD2
MD.MA=0 \Leftrightarrow MI2 - IA2 =0
                         \Leftrightarrow MI2 = IA2
                         \Leftrightarrow MI = IA

D'après le graphique ( que j'ai tracé, je ne sais pas si je dois calculer (AD), parce que j'ai juste fais par rapport à la distance entre les deux points sur le graphique)
AD = 8   donc IA=4
donc l'ensemble des points M du plan représente un cercle de centre I est de rayon 4.

(toujours d'après le graphique) Si I milieu de AD, alors ses coordonnées sont I(-1 ; 0).
Une équation de l'ensemble des points  M est :
(x+1)2+(y-0)2 = 4
donc x2+y2+2x=3

Voilà c'est la seule méthode que j'ai trouvé, alors si vous en avez une meilleure qui est moins approximative, je suis preneuse !

Posté par
Shinnybird
re : Produit scalaire 20-04-21 à 17:37

Sylvieg @ 20-04-2021 à 17:22

Pour voir si ton équation est bonne, tu calcules, mentalement ou pas, \; 6xB - 5yB +30 \; et \; 6xD - 5yD +30 .
Si tu trouves \; 0 \; pour les deux calculs, c'est bon \;


Merci c'est une très bonne méthode j'essaierai d'y penser la prochaine fois.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-21 à 17:47

Un petit carré au dessus du 4, et c'est bon : \; (x+1)2+(y-0)2 = 42 .

Plusieurs manières de le démontrer :
1)Le produit scalaire est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
Donc \; M E \; \; le triangle MAD est rectangle en M \; M est sur le cercle de diamètre [AD]

2) M(x,y)
Calculer le produit scalaire des 2 vecteurs en fonction de x et y.
Écrire que ce produit scalaire est nul donne une équation de E.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-21 à 17:48

la a) je m'insurge

Citation :
a) DB(5 ; 6) donc par propriété si AC est un vecteur normal à (DB) alors DB(-b ; a) et AC(a ; b) donc on obtient AC(6 ; -5).

méthode fausse qui "démontre" que 0 = 0 en tournant en rond, la belle affaire.

vérifier que les vecteurs (a; b) et (b; -a) sont orthogonaux quels que soient a et b, serait ce sur des valeurs numériques, n'apporte rien du tout pour démontrer que le vecteur AC (et pas un autre) est orthogonal à DB

les coordonnées de AC sont définies par les coordonnées de A et de C et de rien d'autre, et certainement pas à partir de celles de DB !

le vecteur AC n'a pas du tout pour coordonnées (6 ; -5) mais (xC-xA; yC-yA) et rien d'autre.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-21 à 17:49

** ou (-b; a) c'est pareil

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-21 à 17:59

Oui mathafou, je pensais la a) traitée depuis longtemps, et n'avais pas regardé.

Posté par
Leile
re : Produit scalaire 20-04-21 à 18:21

c'est vrai, calculer les coordonnées des vecteurs, c'était bien.

Leile @ 19-04-2021 à 18:34

toi, tu utilises le vecteur n(3 ; 2,5)..     comment "trouves - tu "  ce vecteur ?
pour la question 1)   AC est un vecteur normal à (DB)  si
les vecteurs AC et  DB sont orthogonaux, soit    AC.BD=0
comment exprimes tu les coordonnées du vecteur AC ?
ça  ne donne pas  (3 ; 2,5)

Posté par
Leile
re : Produit scalaire 20-04-21 à 18:22

mais mathafou, ne "t'insurge" pas ! reste zen !!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Produit scalaire 20-04-21 à 18:25



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