C'est un peu compliqué à expliquer saans dessin mais je vais
essayer... Tu n'as qu'à en faire un chez toi pour comprendre
mon explication  
Comme les longueurs de AB BC et CA sont les memes, on sait que les longueurs
des AM BN et CP sont égales et que les longueurs MB NC et PA sont
aussi égales.
On sait que les longueurs AM BN et CP sont égales et que les longueurs
MB NC et AP sont aussi égales, de plus les trois angles PAM MBN et
NCP sont aussi égaux puisque ABC est un triangle équilatéral. Donc
les trois triangles PAM MBN et NCP sont égaux et donc les trois cotés
PM MN et NP sont égaux.
PMN est donc bien un triangle équilatéral...
Voilà !  

Déso j'aai oublié d'effacer un morceau...

y a t il une manière avec les produits scalaire

s que quelqu'un peut m'aider

Bonjour

ABC est un triangle équilatéral de côté a.
Ses angles mesurent 60°.
AM = x AB = xa (en longueur)
BN = x BC = xa
CP = x CA = xa

MN² = (MB + BN)²
= MB² + 2MB.BN + BN²
= (AB - AM)² + 2MB.BN + BN²
....

NP² = (NC + CP)²
= ....

idem pour MP²
Et tu trouveras que
MN² = NP² = MP²

Donc :
MN = NP = MP

A toi de tout reprendre, bon courage ...

Merci pour ta réponse océane

a un moment tu écris

MN² = (MB + BN)²

est en vecteur ou en longueur et peusx-tu m'expliquer ce qui te
permet d'affirmer cette égalité

merci par avance

Bonjour,

On a MN=MB+BN en longueur uniquement si M, B et N sont alignés dans
cet ordre.

Donc ici c'est une égalité vectorielle...

@+

Effectivement, dans mes corrctions, les vecteurs apparaissent en
gras.
Et, c'est simplement une application de la relation de Chasles.

oui mais je compren pa comment tu peu passer des vecteur au longueur
car dans le calcul ta des vecteur et des longueur mercoi de mexpliquer
avec le plus de detail possible et désolé pour te déranger

MN²
= (MN)²
= MN.MN
= (MB+BN).(MB.BN)
= (MB + BN)²

Est-ce plus clair ?

remarque : les vecteurs apparaissent toujours en gras

j'ai essayé et pour MN² je trouve MB²+BN²+MN*BN (tt en longueur
mm la suite
MP² je trouve MA²+AP²+MA*AP
PN² je trouve PC²+CN²+PC*CN
et comme MA=CP=NB
et CN=AP=MB alors on trouve MP=PN=MN mais peut tu me dire si le resulta
est juste

Merci

Il doit y avoir une petite erreur

(MB + BN)²
= MB² + 2MB.BN + BN²
= MB² + 2×MB×BN×cos(MB,BN) + BN²
= MB² + 2×MB×BN×cos(180-60) + BN²
= MB² + 2×MB×BN×(-1/2) + BN²
= MB² - MB×BN + BN²
= (a - xa)² - ax(a - xa) + (ax)²
= a² - 2a²x + x²a² - a²x + a²x² + a²x²
= a² - 3a²x + 3a²x²

Idem pour les autres,
à toi de tout reprendre, bon courage ...

ocane je c pas poor moi cos 60= 1/2 alor que pour toi c égale a -1/2
peut tu m dire pourqoi le quel est juste

Oui mais on ne regarde pas le cosinus de 60, mais de 180-60,
donc :
cos(180-60) = cos 120 = -1/2

oui mais pour moi l'angle vau 60 et non 120 comment fait tu
pour avoir un angle de 120

(MB, BN)
Il faut que tu prennes des vecteurs de même origine pour trouver la
valeur de cet angle... (prends comme origine le point B et tu verras
que l'angle mesure 180 - 60)

ah oui c'est à cause des angles orientés, je viens de comprendre,
merci de ton aide et de ta patience océane

Mais de rien
Si tu as compris, c'est le principal