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Produit scalaire avec plusieurs méthodes
Bonsoir,
Je reviens avec un nouvel exercice sur le produit scalaire.
Voici l'énoncé:
Dans un carré direct ABCD, de côté égal à l'unité de longueur, on considère les points I et J définis par:
\vec{AI} = 1/5\vec{AD} et \vec{CJ}= 2/5\vec{CB}
Un point M décrit le segment [DC]. On pose \vec{DM}= x\vec{DC}
1) Déterminer x pour que les droites (IJ) et (BM) soient perpendiculaires.
2) Dans la suite, on désigne K le point de [DC] tel que: \vec{DK}= 3/5 \vec{DC}
a. Le triangle IJK est-il rectangle?
b. Déterminer une valeur approchée à 0.1° près de l'angle \widehat{IJK}
Pour le moment j'ai fait seulement la 1ère question.
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1)
On se place dans le repère A.AB.AD qui est orthonormé puisque c'est un carré.
On a ainsi \vec{AI}=1/5\vec{AD} Soit \vec{AI}(0,1/5)
Pour avoir les coordonnées de I,nous faisons xi-xa=0 et yi-ya=0
et on sait que xi et xa puis ya valent 0,il nous manque donc yi que nous déduisons
Ainsi yi=1/5 (yi-0=1/5)
On s'intérèsse à \vec{CJ}(1-1,yj-1)
Or nous connaissant les coordonnées de C ainsi que xJ
Cependant,il nous manque yj
Nous le déduisons,ainsi on a:yj-1=-2/5 soit yj=3/5
Donc maintenant nous avons les coordonnées des points I,et J
Nous pouvons calculer le vecteur \vec{IJ}
\vec{IJ}(1,2/5)
\vec{BM}(x-1,1) (nous connaissons yM grâce à la figure)
Ainsi je peux déterminer xm
Je calcule :
=(x-1)(1)+2/5
Donc x-1+2/5=0
Ainsi x=3/5 !
Merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider 
Merci :')
J'ai commencé la question 2.
Sachant que \vec{DK}+3/5\vec{DC}
On a(1.0)
Soit (3/5,0)
Donc xk-0=3/5 et yk-1=0
Donc on en déduit que xk=3/5 et yk=1 !
Ensuite,on peut calculer le produit scalaire:
Or on sait que
(1,2/5)
et que (2/5,-2/5)
Donc
Je dois le calculer et ça devrait me donner 0.
Mais j'ai fait une erreur quelque part puisque ça me donne pas 0
Merci d'avance
Il n'est pas davantage rectangle en K.
Tu as bien fait de considérer l'angle en J, à cause de la question suivante.
Ah d'accord merci
Alors j'ai essayé de déterminer l'angle:
J'utilise AL-Khashi puisque nous sommes dans un triangle quelconque;on pose JK=a,KI=b et IJ=c
On a alors:
a²=b²+c²-2bccosA
Mais il faudrait des longueurs,j'ai seulement des vecteurs!
.
=IJ.JK.cosJIKJe trouve IJ=V29/5 et JK=2V2/5
Donc on a : 2V58/25*cos(JIK)
Je sais que c'est étrange mais je suis bloquée ici...
Je ne comprends pas comment calculer le cos
Cette expression, où il faudrait plutôt cos(IJK), est égale au produit scalaire JK.JI qui peut être calculé à partir des coordonnées de ces deux vecteurs.
Voici la question suivante:
3) Soit H le point d'intersection des droites (BK) et (IJ) et L le point d'intersection de la droite (IJ) avec la parallèle à (BK) passant par D.
a. Établir que IJ= KB= √29/5 .
Avant de faire cette question,je m'interroge sur la démarche à adopter.Je pensais calculer la longueur KB pour montrer qu'elle était égale à IJ.Mais je ne me demande si cette méthode ne serait pas judicieuse...
Bonjour
Je trouve KB=V29/5 avec le calcul de la distance
Ainsi IJ= KB= √29/5 .
Voici la question suivante:
b. Justifier précisément que = IJ*LH
En calculant d'une autre façon (linéairité ou repère) déterminer la valeur de LH.
Je ne comprends pas bien ce qu'on me demande
J'ai fait une figure et je vois que
=
car L est le projeté orthogonal de [DK] sur IJ et H et le projeté orthogonal de [DK] sur (IJ).
Donc =
soit vec LH=vec DK
soit LH=DK soit LH=3/5
Je ne sais pas si mon raisonnement est correct :c
Dans ce qu'il faut justifier, s'agit-il de vecteurs, de segments, de produits scalaires . . . . Ce n'est pas clair.
Par ailleurs, où est le point H ?
Ah oui excusez moi c'est :
3) Soit H le point d'intersection des droites (BK) et (IJ) et L le point d'intersection de la droite (IJ) avec la parallèle à (BK) passant par D.
a. Établir que IJ= KB= √29/5 .
b.Justifier précisément que (vec) IJ. (vec) DK = IJ * LH
b. Tu as vu que le vecteur LH était le projeté orthogonal du vecteur DK sur le vecteur IJ.
On peut donc, dans le produit scalaire IJ.DK, remplacer le vecteur DK par le vecteur LH sans en changer la valeur : IJ.DK = IJ.LH .
Les vecteurs IJ et LH étant colinéaires et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs : IJ.LH = |IJ|*|LH| .
Merci beaucoup;
J'ai une question :
Les vecteurs IJ et LH étant colinéaires et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs : IJ.LH = |IJ|*|LH| .
Il faut que je démontre qu'ils sont colinéaires même si c'est évident ?
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J'ai calculé
vec IJ. vec DK =1
Alors 1=V29/5.LH
LH=5V29/29
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