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Produit scalaire dans un paralélograme

Posté par Profil ivoh 08-06-20 à 10:42

Bonjour, j'ai un dst de maths à rendre et une question me pose problème, c'est celle-ci :
ABCD est un parallélogramme avec AB=5 ; AD=3 et AC = 7.
Montrer que le produit scalaire AB . AD = 15/2

Mon résonnement : J'utilise la formule : AB.AD = 1/2(AB² + AD²- (AB-AD)²)
ceci me donne AB.AD = 1/2(5² + 3² - (5-3)²)
= 1/2(34-4)
=15
Je trouve 15 alors que je dois normalement trouver 15/2, merci d'avance pour votre aide !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 11:03

Bonjour,

erreur fondamentale

dans la formule il ne s'agit pas de (AB-AD)² mais de (\vec{AB}-\vec{AD})^2

il faut donc trouver quel est le VECTEUR qui est égal à \vec{AB}-\vec{AD} et quelle est sa norme
par ce que c'est cette norme là qu'on élève au carré
et la norme d'ue somme/différence n'est absolument pas la somme/différence des normes !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 11:06

PS : et d'ailleurs vu les données qu'on a, il vaut mieux utiliser l'autre formule
celle avec \vec{AB} + \vec{AD}

Posté par
fenamat84
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 11:07

Bonjour,

Tu as fait une erreur dans l'application de ta formule !!
Dans ton cours, il est dit que :
AB.AD = 1/2 ( ||AB||² + ||AD||² - ||AB - AD||²) !!
Or ||AB - AD||² ce n'est certainement pas la même chose que (||AB|| - ||AD||)² !!

Ici, tu dois d'avoir déterminer AB - AD (en vecteurs) : AB - AD = AB + DA = ...
Et ensuite, tu peux appliquer correctement ta formule.

Posté par Profil ivohre : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 11:09

donc si je comprend bien , je dois utiliser la relation de Chasles pour trouver le vecteur qui est égale à   (AB.AD)² ?
PS: je ne sais pas faire les flèches au dessus des lettres.

Posté par
fenamat84
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 11:09

Salut Mathafou.

Posté par
fenamat84
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 11:17

Comme Mathafou l'a dit un peu plus haut :

Tu dois trouver quel est le VECTEUR qui est égal à \vec{AB}-\vec{AD} et ensuite en déduire sa norme.

Or AB - AD = AB + DA = ... (en appliquant Chasles)

Après il est vrai que l'autre formule aurait été bien plus efficace : à savoir
AB.AD = 1/2 (||AB + AD||² - ||AB||² - ||AD||²)
Trouver un vecteur égal à AB+AD est immédiat...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 11:28

tant qu'on sait profondément de quoi on parle il n'est pas nécessaire de savoir écrire des flèches ici (ça se fait en utilisant le LaTeX [lien])

on peut se contenter de dire que TOUT est en vecteurs
et que si on veut parler de la norme ou de la mesure on écrit explicitement ||AB|| comme l'a fait fenamat84,
ou "mesure de" écrit explicitement (en dehors d'une formule, des phrases à l'intérieur de formules c'est illisible)

et surtout ne pas confondre une différence et un produit scalaire

on parle de la différence de deux vecteurs AB moins AD
pas de (AB.AD)²
fenamat84 a fait pratiquement tout le boulot
comme c'est une fausse piste , je termine son raisonnement :

AB - AD = AB + DA = DA + AB = DB (Chasles)
mais dommage, ||DB|| = mesure de la diagonale [BD], on ne le connait pas ...

donc comme j'ai dit il faut utiliser l'autre formule du cours

AB.AD = 1/2(||AB+AD||² - ||AB||² - ||AD||² ) tout ça en vecteurs

Posté par
fenamat84
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 11:35

J'allais justement écrire que sa formule aboutirait à une impasse, puisqu'on ne connait pas la longueur de BD...

Donc se retourner à la formule donnée par mathafou :
AB.AD = 1/2(||AB+AD||² - ||AB||² - ||AD||² ) tout ça en vecteurs

Posté par Profil ivohre : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 11:56

merci à vous deux pour votre aide, j'ai essayer quelque chose, je me suis dit que la mesure de AC n'était pas la pour rien, comme AC est une diagonale du parallélogramme comme BD, j'ai donc déduit ( je doute de ma réponse ) que AC=BD, donc maintenant que j'ai BD, j'applique la formule : 1/2(7²-5²-3²) = 15/2
mon résonnement est-il bon  ?  

Posté par
fenamat84
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 12:15

Citation :
comme AC est une diagonale du parallélogramme comme BD, j'ai donc déduit ( je doute de ma réponse ) que AC=BD,


Grossière erreur !!
Si ABCD est un parallélogramme, ses diagonales ne sont pas forcément de même longueur !! Donc dire que AC = BD est faux !!

La formule que tu as énoncé : 1/2 (||AB||² + ||AD||² - ||AB - AD||²) (en vecteurs) amène à une impasse puisque AB - AD = DB mais on n'en sait rien de la norme du vecteur DB !!

Par contre, la formule proposée par mathafou :
1/2 (||AB + AD||² - ||AB||² - ||AD||²)
Un vecteur égal à AB + AD est facile à déterminer !!
AB = DC (en vecteurs car ABCD est un parallélogramme)
Donc AB + AD = ...
Et à partir de là, c'est quasi immédiat.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 12:22

AC = BD certainement pas !!
un parallélogramme , ce n'est pas un rectangle (seul cas pour lequel les diagonales sont égales !!)

AC c'est AC et rien d'autre et BD c'est BD et rien d'autre.

et si tu faisais ce qu'on te dit ?
au lieu de "délirer" en trafiquant des formules pour les plier à ton désir d'obtenir 15/2 à tout prix, y compris celui d'avoir des calculs intermédiaires complètement absurdes (AC = BD)

utiliser la formule
AB.AD = 1/2(||AB+AD||² - ||AB||² - ||AD||² ) tout ça en vecteurs

et BD n'apparait nulle part dans cette formule , on n'a pas à supposer à tort ou pas que ce serait égal à AC !!
AB + AD n'est certainement pas égal à BD (en vecteurs)
réviser la somme de deux vecteurs !!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 12:24

fenamat84 : puisque tu tiens absolument à prendre la main je te laisse poursuivre.

Posté par
fenamat84
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 12:53

@Mathafou : je vais bientôt déjeuner.
Je reviendrai plus tard, à moins que notre intervenant ait déjà compris son erreur...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 12:59

pour moi , c'est en train de cuire.
et pour ivoh aussi c'est peut être l'heure de déjeuner
bon appétit.
mais il est inutile qu'on réponde la même chose en double

Posté par Profil ivohre : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 13:07

Merci beaucoup, j'ai trouvé le resultat, donc AB + AD = AC

Posté par
malou Webmaster
re : Produit scalaire dans un paralélograme 08-06-20 à 14:01

DST = devoir sur table
sujet verrouillé
mis au frais dans l'espace privé
s'il a compris les explications, il le refera

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