Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

produit scalaire:droite d'Euler

Posté par
gabriellla
02-05-14 à 11:18

Voila j'aurai besoin d'aide pour cet exercice


On travaille dans (O,I,J) repère orthonormé du plan.
On définit les points suivants A(-4,0), B (8,-4) C(4,6)
I est le milieu de AB
J est le milieu de BC
K est le milieu de AC

1- déterminer une équation de 2 hauteurs du triangle ABC et en déduire les coordonnées de H orthocentre de ABC
2-De même déterminer une équation de 2 des médiatrices du triangle et en déduire les coordonnées de D centre du cercle circonscrit. Déterminer alors une équation de ce cercle.
3-Déterminer une équation de 2 médianes de ABC et en déduire les coordonnées de G centre de gravité du triangle.
4- Vérifier que ces point G, H et D sont alignés.

Merci

Posté par
gaa
re : produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 11:52

Bonjour,
ta politesse est bien expéditive !!!!

1) Avant d'écrire l'équation de deux hauteurs, tu dois d'abord écrire les équations de deux des côtés correspondants

pour écrire l'équation d'une droite passant par 2 points A(xA;yA) et B(xB;yB) tu peux

soit savoir que le coefficient directeur a est (yB-yA)/(xB-xA)
puis écrire que cette droite passe par A donc que

yA=axA+b  ce qui te permet de calculer b

soit écrire qu'une droite d'équation y=ax+b passe par A et B donc

yA=axA+b
yB=axB+b

et résoudre le système de 2 équations à 2 inconnues a et b.

quand tu as ces équations tu calcules les coefficient directeurs des hauteurs, sachant

que tu as (à partir du produit scalaire égal à 0 de deux droites perpendiculaires) la relation


xx'+yy'=0  ce qui conduit au résultat suivant:

si a est le coefficient directeur d'un droite, le coefficient directeur d'une perpendiculaire sera
a'=-1/a
et pour avoir l'équation de ces hauteurs, il te suffira d'écrire qu'elles passent par les sommets correspondants.
L'intersection des deux hauteurs te donnera les coordonnées de l'orthocentre du triangle

Pour écrire l'équation d'une médiatrice d'un segment AB
tu écris la relation
MA²=MB² (la médiatrice d'un segment est l'ensemble de points équidistants des extrémités de ce segment)

(xA-x)²+(yB-y)²=(xB-x)²+(yB-y)²
les termes au carré s'éliminent et il te reste une relation linéaire entre x et y qui est l'équation de la médiatrice de AB
tu fais cea pour 2 médiatrices et tu calcules les coordonnées de l'intersection qui sera le centre du cercle circonscrit.

Pour les médianes, tu calcules les coordonnées des milieux et tu auras les équations de deux médianes en faisant comme pour la recherche des équations de 2 hauteurs.(faire passer une droite par 2 points dont on connait les coordonnées)
pour avoir les coordonnées du centre de gravité, tu fais comme précédemment.

Pour vérifier que les 3 points H;G;O sont alignés:
tu peux:
calculer les coefficients directeurs par exemple de (HG) et (HO) montrer qu'ils sont égaux)
ou montrer que les vecteurs HO et HG sont colinéaires.

Posté par
Priam
re : produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 11:56

1. La hauteur issue du point A est portée par la droite passant par ce point et perpendiculaire à la droite (BC) portant le segment du même nom.
Donc, détermine une équation de la droite (BC), puis une équation d'une droite perpendiculaire à cette droite, et écris que ladite droite perpendiculaire passe par le point A.

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 15:00

Merci pour l'aide j'ai calculé les équations Ab: y=-1/3x+(-4/3)
AC:y=(3/4)x+3
BC: y=(-5/2)x+16

A présent je vois pas "quel chiffre" utiliser dans la relation xx'+yy'=0

Merci encore

Posté par
Priam
re : produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 15:51

Tu peux maintenant déterminer une équation de la hauteur issue de A. Elle sera de la forme  y = mx + p .
Le coefficient directeur  m  de cette hauteur se déduit de celui de la droite (BC).
Pour calculer  p , il suffit d'écrire que la hauteur passe par le point A, c'est-à-dire que son équation est vérifiée par les coordonnées de ce point.

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 16:57

Comment la calculer svp?

Est-ce (yC-yB)/(xc-XB)?

Posté par
Priam
re : produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 17:24

Ce n'est pas la peine : tu as déjà l'équation de (BC). Tu peux y voir son coefficient directeur.
Quel sera celui d'une droite perpendiculaire ?

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 19:29

0.4x+1.6

Posté par
Priam
re : produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 19:42

Exact (mais n'oublie pas de mettre  y = . . . . ).

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 19:46

Oui j'ai pas fait attention...

j'ai calculé la hauteur de AC y=-1.33x+6.85

Est-ce juste, Et quelle est la prochaine étape?

Merci de votre aide

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 19:58

Pour être plus précis la perpendiculaire à AC est y=(-4/3)x+(20/3)

J'ai aussi calculé la hauteur issue de C: y=3x-6

Voila merci!

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 20:19

Svp, comment calculé l'orthocentre H de ABC?

Posté par
Priam
re : produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 20:48

L'orthocentre d'un triangle est le point de concours H de ses trois hauteurs.
Pour déterminer ses coordonnées, il suffit de deux hauteurs, qui se coupent en H.
Prends donc les équations de deux des hauteurs du triangle et calcule les coordonnées de leur point d'intersection.

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 21:04

Comment calculer le point d'intersection?

Posté par
Priam
re : produit scalaire:droite d'Euler 02-05-14 à 21:28

Soit deux droites d'équations  y = mx + p  et  y = qx + r .
L'abscisse de leur point d'intersection est solution de l'équation   mx + p = qx + r .

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 03-05-14 à 10:49

Voila merci, j'ai trouvé H (2.92;2.77)  J'ai les coordonnées exacts aussi!

J'ai réussi à faire la question 3 seule, donc en trouvant les 2 médianes (meme les trois) mais pour trouver G je ne les ai pas utiliser... En fait j'ai fait (xA+xB+Xc)/3 et pareil pour y...
Vous pensez que c'est important de pas avoir utiliser les médianes?

Du coup je trouve G (8/3;2/3)

Et enfin j'attend votre aide pour la deuxième question où je ne sais absolument pas quoi faire!

Merci!!!

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 03-05-14 à 12:35

SVP?

Posté par
Priam
re : produit scalaire:droite d'Euler 03-05-14 à 15:07

L'énoncé demande de déduire les coordonnées du point G de deux équations de médianes. Il vaudrait mieux suivre cette indication.
Pour la question 4 relative à l'alignement des points G, H et D, tu pourrais calculer les coordonnées des vecteurs GH et GD, par exemple, et montrer qu'ils sont colinéaires.
Pour ce faire, je te conseille d'utiliser les valeurs exactes des coordonnées du point H.

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 03-05-14 à 19:26

D'accord c'est gentil d'avoir repondu mais je ne sais pas comment calculer les médiatrices du coup je suis bloquée...
Merci

Posté par
Priam
re : produit scalaire:droite d'Euler 03-05-14 à 19:52

Pour déterminer l'équation de la médiatrice du côté BC, par exemple, tu peux considérer que celle-ci est une droite parallèle à la hauteur issue de A.
Cette médiatrice a donc une équation avec le même coefficient directeur que celui de l'équation de ladite hauteur.
Il te reste à écrire que la médiatrice passe par le point J et tu pourra écrire son équation.

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 03-05-14 à 20:39

D' accord j'ai compris merci,
je fais tout ça ce soir et je vous en parle demain pour pas faire trop tard ce soir...
Merci encore!!

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 05-05-14 à 11:23

Bonjour,

Voila j'ai tout fait, j'ai calculé donc les vecteurs GH et DH j'ai fait le porduit en croix et je trouve le même résultat.
Les vecteurs sont donc  colinéaires, donc alignés...

Est-ce juste?

Encore une fois merci pour votre aide!

Posté par
Priam
re : produit scalaire:droite d'Euler 05-05-14 à 14:34

Cela me paraît tout à fait juste.

Posté par
gabriellla
produit scalaire:droite d'Euler 05-05-14 à 18:36

Super merci beaucoup !!!!



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !