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produit scalaire : équations de droites
coucou a tous!g un pti pb jesper ke vs aller pouvoir maidez!! en tt cas merci d'avance!
énoncé : le plan est muni d'un repère orthonormal(O;
;
).
soit A(-1;3) , B(1;4) et C (3;-2).
1.a. déterminer une équation de la hauteur issue de A du triangle ABC.
b.trouver les coordonnées de l'orthocentre H du triangle ABC.
2.a.determiner une équation de la médiatrice de [BC].
b. trouver les coordonnées de O centre du cercle circonscit à ABC.
3.trouver les coordonnées du centre de gravité G de ABC.
4.Verifier que H, O et G sont alignés. Situer G par rapport a O et H.
salut
1a)soit h1 cette hauteur.
elle passe par A et est orthogonale a (BC)
vecteur(BC)(xC-xB,yC-yB)
en remplacant par les valeurs
vecteur(BC)(2,-6)
le vecteur BC est un vecteur directeur de la droite (BC).
or si u(a,b) est un vecteur directeur
(a et b reel avec (a,b) different de (0,0) car sinon u=0)
de la droite h alors
u.vecteur(BC)=0
donc a*2-6*b=0 donc a=3*b
donc u(3b,b) b reel non nul
tout vecteur de la forme (3b,b), b non nul est vecteur directeur de h. en particulier le vecteur v(3,1)
donc h a pour equation 3y-x+c=0 avec c a determiner.
or A est sur h donc ses coordonnees verifient l'equation donc
3*3-1*(-1)+c=0 donc c=-10
donc h : 3y-x-10=0
b) l'orthocentre H est le point intersection des 3 hauteurs.
il suffit de connaitre l'intersection de deux hauteurs pour connaitre H.
on a deja l'equation de h.
il nous faut une equation d'une deuxieme hauteur.
au choix, celle qui passe par B ou par C.
ici, il faut reproduire ce qui a ete fait en a mais pour la hauteur issue de B (ou de C comme tu veux).
une fois ceci fait, on a l'equation d'une nouvelle hauteur.
avec celle obtenue en a) on en a 2.
systeme de deux equations a deux inconnues x et y :
equation obtenue en a)
et celle obtenue en debut de b)
la solution est les coordonnees du point H.
2a)meme chose que 1.
sauf que la ce sont les mediatrices.
mediatrice de [BC] :
- perpendiculaire a (BC)
- passe par le milieu de [BC]
si I(xI,yI) milieu de [BC]
alors xI=(xB+xC)/2 et yI=(yB+yC)/2
2b) O centre du cercle circonscit à ABC donc OA=OB=OC
OA=OB donc O est sur la mediatrice de [AB]
OB=OC donc O est sur la mediatrice de [BC]
OA=OC donc O est sur la mediatrice de [AC]
meme chose qu'en 1b. il faut trouver l'equation de la mediatrice de [AB] ou celle de [AC]
puis trouver l'intersection de deux mediatrices.
3.G est l'intersection des 3 medianes.
la pas de poduit scalaire.
tu peux utiliser la notion de barycentre si tu la connais sinon tu calcules l'equation de (AI) et de (BJ)
avec I milieu de [BC] et J milieu de [AC].
puis tu cherches les points communs a ces deux droites.
4.calcule l'equation de (HO) puis verifie que les coordonnees de G verifient cette equation.
si elles la verifient alors G est sur la droite (HO)
et donc ces 3 points sont alignés.
situer G par rapport a O et H ?
calcules les coordonnees de vecteur (GO) puis vecteur (GH).
comme les 3 points sont alignés,non confondus il existe k reel non nul tel que :
vecteur(GO)=k*vecteur(GH).
a partir des coordonnees de ces vecteurs, il est facile de trouver k.
ps. la droite qui passe par G,H, et O est la droite d'Euler.(son etude est un exo typique de 1ere)
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