produit scalaire c'est très simple.

si on note vec(u) le vecteur u

vec(u).vec(v)  

(qui se dit vecteur u scalaire vecteur v  [et non pas "fois vecteur v",
qui a se moment la fait référence au produit vectoriel, qui est encore
autre chose])

Si le vec(u) a pour coordonnées (x1,y1) et que le vec(v) a pour coordonnées
(x2,y2),

alors vec(u).vec(v)=x1*x2+y1*y2

ATTENTION, le produit scalaire est un REEL, et non un vecteur.

Aussi, le produit scalaire a une propriété importante.

vec(u).vec(v)=||vec(u)||*||vec(v)||*cos a

avec ||vec()|| = norme du vecteur en question.
et a l'angle géométrique créé par les vecteurs u et v.

Cette dernier formule est la plus importante.
Elle permet d'une part de dire que si deux vecteur sont perpendiculaires
(on dit plutot orthogonaux pour des vecteurs), alors leur produit
scalaire est nul.

en effet, tu as vec(u).vec(v)=||vec(u)||*||vec(v)||*cos a

or comme les vecteur sont orthogonaux, a = 90° = pi/2 radians.
Or cos pi/2 = 0
Cela annule toute la ligne : le produit scalaire est égual a 0.

Cette formule permet aussi de démontrer le Théorème d'Al Kashi, qui
est en fait le théorème de pythagore, généralisé pour toutes les
sortes de triangles.

Aussi, une chose importante a savoir pour les calculs,

(vec(u))² = ||vec(u)||²

ou (vec(u))² est appelé "carré scalaire de u"
et bien sur ||vec(u)||² est "norme de u au carré"