Bonjour,


a)  I HA . n I = I ya-mxa-p I

A (xa, ya)
H  (xh, yh) appartient à D => yh = mxh +p  (1)


HA (xa-xh, ya - yh)

HA.n = (xa-xh)(-m) + (ya -yh)*1
        =  ya - mxa + ( mxh - yh)

D'après (1) mxh -yh = -p

=> HA.n = ya-mxa -p => résultat

b) Immédiat avec a) et ||n|| = rac(1+m²)

A+

bonjour
permettez moi de vous répondre.

1) Justifier l'égalité BA .n = HA .n  
vous avez réussi.
BA=BH+HA  ; relation de chasles
comme HA est parallèle à n et BH est perpendiculaire à n ( les deux points
B et H appartiennet àD)
donc
n.BA=n.(BH+HA)=n.BH+n.HA
       =n.HA   ; car n.BH=0.

2) Montrer alors que la distance d est donnée par l'égalité  
       d=|BA.n|/||n||?
Voua avez réussi.

la formule du cosinus donne:

BA.n=||BA||.||n||cos(BA,n)

comme d=||BA||.|cos(BA,n)| car d>=0

donc |BA.n|=||n||(||BA||.|cos(BA,n)|
                   = ||n||.d

donc d=|BA.n|/||n||


On suppose de plus que D a pour équation réduite y=mx+p
Onchoisit le vecteur n (m; -1) comme vecteur normal à D. On pose (xa; ya) les
coordonnées du oint A.

a) Démontrer que  |HA . n| = |ya-mxa-p|

on a |HA.n|=|BA.n|

et ceci qq soit B sur la droite D.

en particulier si B(0,p)

dans ce cas BA=OA-OB=xai+yaj-pj=xai+(ya-p)j
n=mi-j
donc BA.n=xam+(ya-p)(-1)
                = m.xa-ya+p

donc |HA.n|=|BA.n|=|m.xa-ya+p|
                   =|-(-m.xa+ya-p)|
                   =|-m.xa+ya-p|
                   =|ya-m.xa-p|




b) En déduire la relation         d = ( I ya-mxa-p I ) / (racine de
m²+1)?

comme d=|BA.n|/||n||=|HA.n|/||n||
avec |HA.n|=|ya-m.xa-p|

et que ||n||=rc(m²+1)  ; ici rc() désigne la racine carré.

donc

d=|ya-m.xa-p|/rc(m²+1)

voila. bon courage.