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Produit scalaire et orthogonalité

Posté par
Hitsuna 03-08-18 à 16:35

Bonjour, je peine à comprendre où cet exercice souhaite en venir, car d'une part j'ai l'impression que plusieurs questions sont identiques, et d'autres part je ne vois pas d'où provient la formule du produit scalaire (la démonstration) : \overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {v}=\dfrac {1}{2}\left( \left\| \overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}\right\| ^{2}-\left\| \overrightarrow {u}\right\| ^{2}-\left\| \overrightarrow {v}\right\| ^{2}\right).
Voici l'exercice :

1) Soit (O,i,j) un repère orthonormé du plan. Soit les vecteurs \overrightarrow {u}\left( -1;6\right) et \overrightarrow {v}\left( 10;2\right). On considère les points A, B et C tels que \overrightarrow {OA}=\overrightarrow {u}, \overrightarrow {OB}=\overrightarrow {v} et \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {v}.

a) Placer les points A, B et C.

b) Emettre une conjecture sur l'orthogonalité es vecteurs \overrightarrow {u} et \overrightarrow {v}.
Les vecteurs semblent orthogonaux.

c) En utilisant le triangle OAC, confirmer ou infirmer la conjecture précédente.
(Brièvement) dans le triangle OAC, AC²=104, OC²=145 et OA²=37. OC²AC²+OA² donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle OAC n'est pas rectangle. Par suite, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

-------------------------------

2) On considère deux vecteurs \overrightarrow {u} et \overrightarrow {v} non nuls.

a) Comment peut-on faire pour savoir s'ils sont orthogonaux ? (On pourra utiliser la norme)
Il faut montrer que \left\| \overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}\right\| ^{2}=\left\| \overrightarrow {u}\right\| ^{2}+\left\| \overrightarrow {v}\right\| ^{2} soit \left\| \overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}\right\| ^{2}=\left\| \overrightarrow {u}\right\| ^{2}-\left\| \overrightarrow {v}\right\| ^{2}=0

b) Quelle égalité caractérise leur orthogonalité ?

Idem que la question précédente

c) Quelle expression caractérise leur orthogonalité ?

Idem...

------------------------------

3) Un cas particulier : On considère trois points D, E et F alignés dans cet ordre.


a) Justifier chacune des égalités suivantes : DF=DE+EF et \left\| \overrightarrow {DF}\right\| =\left\| \overrightarrow {DE}+\overrightarrow {EF}\right\|.

La première égalité est la définition de trois point alignés. Comment justifier une définition ?
La deuxième égalité se justifie avec la relation de Chasles.

b) A l'aide d'une identité remarquable, démontrer que DE\times EF=\dfrac {1}{2}\left( DF^{2}-DE^{2}-EF^{2}\right)
\dfrac {1}{2}\left( DF^{2}-DE^{2}-EF^{2}\right) =\dfrac {1}{2}\left( \left( DE+EF\right) ^{2}-DE^{2}-EF^{2}\right)
\dfrac {1}{2}\left( DF^{2}-DE^{2}-EF^{2}\right) =\dfrac {1}{2}( DE^{2}+2DE\times DF+EF^{2}-DE^{2}-EF^{2})
\dfrac {1}{2}\left( DF^{2}-DE^{2}-EF^{2}\right) =DE\times DF \\

c) En déduire l'égalité DE\times EF=\dfrac {1}{2}\left( \left\| \overrightarrow {DE}+\overrightarrow {EF}\right\| ^{2}-\left\| \overrightarrow {DE}\right\| ^{2}-\left\| \overrightarrow {EF}\right\| ^{2}\right).
DE\times EF=\dfrac {1}{2}\left( DF^{2}-DE^{2}-EF^{2}\right)
DE\times EF=\dfrac {1}{2}\left( \left\| \overrightarrow {DF}\right\| ^{2}-\left\| \overrightarrow {DE}\right\| ^{2}-\left\| \overrightarrow {EF}\right\| ^{2}\right).
DE\times EF=\dfrac {1}{2}\left( \left\| \overrightarrow {DE}+\overrightarrow {EF}\right\| ^{2}-\left\| \overrightarrow {DE}\right\| ^{2}-\left\| \overrightarrow {EF}\right\| ^{2}\right)

d) Quelle expression retrouve-t-on ?
Je ne vois pas du tout ce que l'on retrouve (comparativement aux résultats précédents).


Je vous remercie pour vos réponses !

Posté par
carpediemre : Produit scalaire et orthogonalité 03-08-18 à 17:00

salut

pour 2/ n'oublie pas que a^2 + b^2 = (a \pm b)^2 \mp 2ab à appliquer à a = ||u|| et b = ||v||

Posté par
Hitsunare : Produit scalaire et orthogonalité 03-08-18 à 17:27

Oh, ça ne m'était pas venu à l'esprit ! Mais du coup j'obtiens \left\| \overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}\right\| ^{2}=\left( \left\| \overrightarrow {u}\right\| +\left\| \overrightarrow {v}\right\| \right) ^{2}-2\left\| \overline {u}\right\| \times\left\| \overrightarrow {v}\right\|
, que puis-je en faire ?

Posté par
carpediemre : Produit scalaire et orthogonalité 03-08-18 à 18:15

ouais ... en fait plutôt :

||\vec u + \vec v||^2 = (\vec u + \vec v)^2 = ...

Posté par
Hitsunare : Produit scalaire et orthogonalité 03-08-18 à 18:17

Je ne comprends pas cette égalité par contre o.O

Posté par
carpediemre : Produit scalaire et orthogonalité 03-08-18 à 18:29

carpediem @ 03-08-2018 à 18:15

ouais ... en fait plutôt :

||\vec u + \vec v||^2 = (\vec u + \vec v)^2 = \blue (\vec u + \vec v) \cdot (\vec u + \vec v)

le point représentant le produit scalaire ...

Posté par
Hitsunare : Produit scalaire et orthogonalité 03-08-18 à 18:36

Oui, mais pourquoi la norme de u+v est égale à la somme u+v ? La norme étant un nombre, et la somme un vecteur ?

Posté par
carpediemre : Produit scalaire et orthogonalité 03-08-18 à 18:53

non c'est faux !!

il y a égalité de leur carré

||\vec u + \vec v||^2 est le carré d'un nombre (positif)

(\vec u + \vec v)^2 = \blue (\vec u + \vec v) \cdot (\vec u + \vec v) est le carré scalaire (d'un vecteur et qui donne bien un nombre)

mais connais-tu le produit scalaire ?

Posté par
Hitsunare : Produit scalaire et orthogonalité 03-08-18 à 19:05

Alors pour être précis, cet exercice est une sorte de "découverte" du chapitre. Par conséquent je devrais partir du principe que la notion de produit scalaire est inconnue. J'aurais dû le mentionner, je pense :x.


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