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produit scalaire et propriété
Bonjour c'est encore moi Hadj classe de 1ère, j'avais déjà posé une question auparavant sur les dérivations. Sauf que là c'est sur un autre sujet. C'est sur les produits scalaire.
Énoncer: On considère un rectangle ABCD tel que AD = 2AB.
On place les points E et F tels que vecteur(AE)=2*vecteur(AB) et vecteur(DF) = 1/2*vecteur(AD) on note G le milieu du segment [CE].
Puis dans la 2ème question on me demande de refaire la figure sur geogebra et de conjecturer sur les droites (AG) et (FE).
Dans ma tête je me suis que le vecteur(AG)=AF+FG=1/2*AD+AB+1/2*AB
et que le vecteur(FE)=FG+GE=AB+1/2*AB-1/2*AD+1/2*AB=2*AB-1/2*AD (si on part du point F)
j'ai essayé additionner les 2 vecteurs pour voir ce qui se passe mais je ne vois pas la conjecture que je peux faire.
pour la démonstration je me débrouillerais.
Si vous voulez je vous envoi une capture de ma figure pour que ça soit plus claire.
donc la figure serait comme ça ? et on conjecture alors l'intersection des droites (AG) et (FE) forment un triangle rectangle je pense que c'est ça.
La première était d'exprimer le vecteur(AG) en fonction de des vecteurs AB et AD
ce qui donne
AG=AB+1/2*AB+1/2*AD
AG=3/2*AB+1/2*AD
A Partir de toutes les donnéés recueillis, j'ai pu démontré que les droites AG et FE sont perpendiculaires grâce à la propriété des produits scalaires orthogonaux.
Que AG*FE=0 car u*v=x*x prime+y*y prime=0
sachant que AG(x=3/2AB et y=1/2*AD) et FE(x=AB et Y= -3AD)
donc
AG*FE = 3/2*AB * AB + 1/2*AD * -3*AD
AG*FE = 3/2*AB-3/2*AD=0.AD.AB=0
Donc les droites AG et FE sont bien perpendiculaires.
Ecrire plutôt :
AG.GF = (3/2 AB + 1/2 AD).(2AB - 3/2 AD) = 3/2*2AB² - 1/2*3/2AD² + AB.AD(. . .)
= 3AB² - 3/4 AD² = 3AB² - 3/4*4AB² = 0 .
J'ai simplement calculé le produit scalaire AG.FE en utilisant les expressions des deux vecteurs en fonction des vecteurs AB et AD.
On peut considérer que les coefficients de AB et AD sont des coordonnées des vecteurs AG et EF dans le repère (A,AB,AD); les vecteurs unitaires AB et AD de celui-ci sont bien orthogonaux, mais de longueurs différentes.
C'est la raison pour laquelle la formule que tu proposes ne convient pas ici.
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